Partícula lliure

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En física, una partícula lliure és una partícula que, d'alguna manera, no està enllaçada. En física clàssica això significa que la partícula no està sotmesa a cap força externa.

Partícula lliure clàssica[modifica | modifica el codi]

La partícula lliure clàssica es caracteritza simplement perquè la seva velocitat és constant. El moment lineal ve donat per


 \mathbf{p}= m \mathbf{v}

i l'energia per


 E = \frac{1}{2}m \mathbf{v}^2 = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}

on  m \, és la massa de la partícula i  \mathbf{v} el vector velocitat de la partícula.

Partícula lliure quàntica no-relativista[modifica | modifica el codi]

L'equació de Schrödinger depenent del temps per a una partícula lliure és:

(1)


- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \ \Psi (\mathbf{r}, t) =
i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi (\mathbf{r}, t)

És fàcil comprovar que per aquest sistema l'operador hamiltonià commuta amb l'operador moment i, per tant, hi ha un conjunt complet de solucions comuns. La solució corresponent a valors definits de l'energia i del moment ve donada per una ona plana:



\Psi (\mathbf{r}, t) = A i^{i (\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}- \omega t)}

i, per tant, amb la restricció

(2)



\hbar \omega = \frac{\hbar^2 \mathbf{k}^2}{2m}, 
\quad \mbox{es decir,} \quad 
E = \frac{\mathbf{p}^2}{2 m}

on r és el vector posició, t és el temps, k és el vector d'ona, ω és la freqüència angular i  A l'amplitud. Una ona plana representa l'estat d'una partícula lliure amb una probabilitat uniforme en tot l'espai, pel fet que la densitat de probabilitat pren un valor constant i independent de la posició r i del temps t, |\Psi ( \mathbf{r}, t)|^2 = \Psi^* \, \Psi =|A|^2 . Com la integral de  \Psi^* \, \Psi sobre tot l'espai deu ser la unitat, hi ha un problema a l'hora de normalitzar aquesta autofunción del moment (una alternativa és considerar la normalització en funció del flux). No obstant això, no serà un problema per a una partícula lliure més general, ja que d'alguna manera es trobarà localitzada tant en la seva posició com en el seu moment (vegeu partícula en una caixa per a una discussió més detallada).


Paquet d'ona[modifica | modifica el codi]

Representació d'un paquet d'ones unidimensional: la part real, part imaginària i la densitat de probabilitat d'un paquet d'ones desplaçant cap a la dreta.

Una partícula lliure més general no té un moment o una energia definida. En aquest cas, la funció d'ona de la partícula lliure es representa com una superposició d'ones planes (que descriuen l'estat d'una partícula lliure de moment definit), anomenada paquet d'ones:


 \left. \right.
\Psi (\mathbf{r}, t) = \int
A (\mathbf{k}) i^{i (\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}- \omega (k) t)}
d \mathbf{k}

on la integral es defineix sobre tot l'espai k , i on  \omega depèn de  k segons l'equació(2). Noteu que aquesta funció, al contrari que les ones planes, és de quadrat integrable i, per tant, es pot normalitzar.[1]

La velocitat de grup de l'ona es defineix com


 \left. \right.
v_g = \frac{d \omega}{dk}= \frac{dE}{dp}= v

on  v és la velocitat clàssica de la partícula. La velocitat de fase de l'ona es defineix com


 \left. \right.
v_f = \frac{\omega}{k}= \frac{I}{p}= \frac{p}{2m}= \frac{v}{2}

Si suposem per simplicitat que la variació de l'amplitud  A (\mathbf{k}) és simètrica respecte del seu valor màxim  \mathbf{k}_0 , obtenim que el valor esperat del moment p és



\langle \mathbf{p}\rangle = \langle \Psi|-i \hbar \nabla|\Psi \rangle = \hbar \mathbf{k}_0

mentre que el valor esperat de l'energia  E és



\langle I \rangle = \langle \Psi|i \hbar \frac{\partial}{\partial t}|\Psi \rangle = \hbar \omega (k_0)

Aïllant  \mathbf{k}_0 i ω i substituint en l'equació que les relaciona, obtenim la relació ja coneguda entre energia i moment per partícules no-relativistes amb massa  m



\langle I \rangle = \frac{\langle p \rangle^2}{2m}

on p =| p |.

Densitat de corrent en mecànica quàntica[modifica | modifica el codi]

En mecànica quàntica, el corrent de probabilitat és un concepte que descriu el flux de densitat de probabilitat. Així, en mecànica quàntica no-relativista, es defineix com


 \mathbf{j}=
\frac{\hbar}{2mi} \left (\Psi^* \boldsymbol \nabla \Psi - \Psi \boldsymbol \nabla \Psi^* \right) =
\frac \hbar m \mbox{Im}(\Psi^* \boldsymbol \nabla \Psi) =
\mbox{Re}(\Psi^* \frac{\hbar}{im}\boldsymbol \nabla \Psi)

Per al cas d'una partícula lliure  \Psi (\mathbf{r}, t) = A i^{i (\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}- \omega t)}, el corrent de probabilitat ve donada per


 \mathbf{j}=|A|^2 \frac{\hbar \mathbf{k}}{m}

Partícula lliure relativista[modifica | modifica el codi]

Hi ha diverses equacions que descriuen les partícules relativistes. Per a una descripció de les solucions per a una partícula lliure veure els articles:

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. En efecte, la funció d'ona representa la transformada de Fourier de l'amplitud. Així, normalment es defineix com


     \left. \right.
\Psi (\mathbf{r}, t) = \frac{1}{(2 \pi)^{3/2}}\int
A (\mathbf{k}) i^{i (\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}- \omega (k) t)}
d \mathbf{k}

    que, d'acord amb la relació de Parseval és una funció de quadrat integrable sempre que ho sigui l'amplitud  A (\mathbf{k}) .

  • Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu et Frank Laloë. Mécanique quantique, vol. I et II. Paris: Collection Enseignement donis sciences (Hermann), 1977. ISBN 2-7056-5767-3.