Usuari:Mcapdevila/Multiplicació per duplicació

La multiplicació per duplicació és un antic algorisme de multiplicació. No requereix conèixer la taula de multiplicar, encara que es necessita saber sumar. En el mètode rus, es requereix a més saber dividir entre dos.

Aquest mètode va ser utilitzat amb profusió al Antic Egipte i conegut com a duplicació i mediació. Avui en dia el mètode és utilitzat per camperols en països com Rússia, de fet en anglès aquest mètode es coneix com el "mètode camperol rus". Els dos mètodes són una mica diferents en la forma però, òbviament, s'arriba al mateix resultat.

Mètode egipci

A l'Antic Egipte, el mètode utilitzat només requereix saber sumar:

Si volem multiplicar A ⋅ B

• A la primera columna s'escriu la sèrie: 1, 2, 4, 8 ... (2n ≤ A) (obtenint cada xifra sumant dues vegades la precedent), escrivint fins a l'últim nombre que no superi la primera xifra A.
• A la segona columna s'escriu la sèrie: B, 2B, 4B ... (obtenint cada xifra sumant dues vegades la precedent)
• En una tercera columna es marquen les files tals que la suma de les xifres de la primera columna sigui igual a A (de major a menor)
• El resultat és la suma de les xifres de la segona columna que estigui en files marcades.

Exemple: 41 ⋅ 59

 1   59   X
 2   118
 4   236
 8   472  X
16   944
32   1888 X (perquè 32 + 8 + 1 = 41)
___________
41   2419   (el resultat és 1888 + 472 + 59)

Mètode rus

Consisteix en:

• Escriure els nombres (A i B) que es desitja multiplicar a la part superior de sengles columnes.
• Dividir A entre 2 successivament, ignorant el residu, fins arribar a 1. Escriure els resultats a la columna A.
• Multiplicar B per 2 tantes vegades com vegades s'ha dividit A entre 2. Escriure els resultats successius a la columna B.
• Sumar tots els nombres de la columna B que estiguin al costat d'un nombre senar de la columna A. Aquest és el resultat.

Exemple: 27 ⋅ 82

A	B	sumands
27	82	82
13	164	164
6	328
3	656	656
1	1312	1312
Resultat: 2214

Aquest mètode funciona perquè la multiplicació és distributiva, així que:

${\begin{aligned}82\cdot 27&=82\cdot (1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{4})\\&=82\cdot (1+2+8+16)\\&=82+164+656+1312\\&=2214\end{aligned}}$

Vegeu també

• Algorisme de multiplicació
• Sistema binari
• Matemàtiques a l'Antic Egipte