Angle inscrit

En geometria, un angle inscrit és l'angle comprès entre dues cordes (o una secant i una tangent en el cas degenerat, anomenat semi- inscrit ), que s'intersequen a la circumferència. És a dir, és l'angle definit per dues cordes que comparteixen un extrem.

Propietats[modifica]

Mentre que un angle central té una amplitud $\theta$ igual a la de l'arc que abasta, la de l'angle inscrit és la meitat de la porció de circumferència en el seu interior, $\theta /2$ .

Entre altres resultats, aquesta propietat permet demostrar que els angles oposats d'un quadrilàter cíclic són suplementaris, i que quan dues cordes $a$ , $b$ s'intersequen a l'interior del cercle, el producte de la longitud dels seus segments és el mateix $a_{1}\cdot a_{2}=b_{1}\cdot b_{2}$ .

Demostració[modifica]

Per entendre la prova, és útil dibuixar un diagrama com els de les figures.

Angle inscrit on una corda és un diàmetre[modifica]

Siguin $o$ al centre d'un cercle, $u$ i $v$ dos punts en la circumferència, i $w$ l'altre extrem de la corda que passa per $u$ i $o$ . Sigui $\theta$ l'amplitud de l'arc comprès entre les secants ${\bar {uv}}$ i ${\bar {uw}}$ , i $\alpha$ el seu angle inscrit.

L'angle central $\angle wov$ , també té amplitud $\theta$ i és suplementari de $\angle VOU=\beta$ . Per tant $\theta +\beta =180$ °.

Com el triangle $\triangle Vatenir$ té dos costats amb longitud igual al radi ( ${\bar {oo}}$ i ${\bar {lectiu}}$ ), és isòsceles, per la qual cosa $\angle Vatenir=\alpha$ . Atès que la suma dels angles interns d'un triangle és 180 °, hem de $2\alpha +\beta =180$ , però $\beta =180-\theta$ , de manera que $2\alpha +180-\theta =180$ , o el que és equivalent, $2\alpha =\theta$ .