Aproximant de Padé

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

L'aproximant de Padé és la millor aproximació a una funció mitjançant una funció racional d'un ordre donat. La sèrie de potències de l'aproximant coincideix amb la sèrie de potències de la funció que es vol aproximar.[1] La tècnica va ser desenvolupada per Henri Padé.

L'aproximant de Padé dóna sovint una millor aproximació de la funció que no l'equivalent sèrie de Taylor truncada i, a més a més, es pot aplicar allà on la sèrie de Taylor no convergeix. Per aquesta raó les aproximants de Padé s'empren habitualment en computació numèrica.

Definició[modifica | modifica el codi]

Donada una funció f i dos enters m ≥ 0 i n ≥ 0, l'aproximant de Padé d'ordre (m, n) és la funció racional

que coincideix amb al màxim ordre possible:

.

De manera equivalent, l'expansió en sèries de Maclaurin de (sèries de Taylor a l'origen), els sueus primers m + n termes cancel·larien els primers m + n termes de , i per tant

L'aproximant de Padé és única per a uns m i n donats. És a dir que els coeficients poden ser determinats unívocament. És per motius d'unicitat que s'escull el terme zero del denominador de igual a 1. D'altra manera el numerador i el denominador de serien únics excepte per una constant de proporcionalitat.

L'aproximant de Padé definida més amunt també es pot escriure

Per a una donada, les aproximants de Padé es poden calcular mitjançant l'algorisme èpsilon o altres transformacions de seqüència de les sumes parcials

de les sèries de Taylor de . És a dir

Cal fer notar que pot ser una sèrie de potències formal i, en conseqüència, les aproximants de Padé es poden aplicar també a la suma de sèries divergents.


Funció zeta de Riemann–Padé[modifica | modifica el codi]

Per estudiar la suma de sèries divergents, com

pot ser útil introduir la funció zeta de Padé o funció zeta racional com a

on

és l'aproximant de Padé d'ordre (m, n) de la funció f(x). La regularització zeta a s = 0 pren el valor de la suma de la sèrie divergent.

L'equació funcional per aquesta funció zeta dePadé és

on i són els coeficients a l'aproximant de Padé. El subíndex '0' vol dir que l'aproximant és d'ordre [0/0] i, en conseqüència, obtenim la funció zeta de Riemann.

Mètode DLog Padé[modifica | modifica el codi]

Les aproximants de Padé es poden emprar per trobar els punts crítics i exponents de funcions. A termodinàmica, si una funció f(x) es comporta de manera no-analítica a prop d'un punt x = r com , el punt x = r rep el nom de punt crític i p l'exponent crític associat de f. Si es coneixen prou termes de l'expansió en sèries de f, es pot trobar una aproximació dels punts crítics i dels exponents crítics dels pols i els residus de l'aproximant de Padé on .

Generalitzacions[modifica | modifica el codi]

Una aproximant de Padé aproxima una funció d'una variable. Una aproximant de dues variables s'anomena una aproximant Chisholm, i una aproximant de Canterbury en moltes variables.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Baker, G. A., Jr.; and Graves-Morris, P. Padé Approximants. Cambridge U.P., 1996. (anglès)
  • Brezinski, C.; and Redivo Zaglia, M. Extrapolation Methods. Theory and Practice. North-Holland, 1991 (anglès)
  • Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. Numerical recipes in C. Section 5.12, consultable on-line. Cambridge University Press. (anglès)

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Aproximant de Padé Modifica l'enllaç a Wikidata

Referències[modifica | modifica el codi]