Conjunt dens

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Sigui  (X,\mathcal{T}) un espai topològic;  A\subset X és un conjunt dens a  X\; si i només si \bar A = X\; , és a dir, la clausura del conjunt és tot l'espai.

Es compleix que les següents proposicions per  A són totes equivalents:

  1.  A és dens a  X
  2.  A\subset B, B tancat \Rightarrow B = X
  3. \forall V \in \mathcal{T}, A \cap V = \varnothing \Rightarrow V = \varnothing

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • Tot espai topològic és dens en si mateix.
  • \mathbb{Q} i \mathbb{I} són subconjunts densos de \mathbb{R}.
  • Els polinomis són densos en el conjunt  C [a, b] de les funcions contínues definides en  [a, b] , dotat de la topologia associada a la distància  D_\infty (f, g) =\max _{x\in [a, b]}|f (x) - g (x)|.

Espai separable[modifica | modifica el codi]

Si  (X,\mathcal{T}) conté un dens numerable es diu que és un espai topològic separable. Exemples d'espais separables són \mathbb{R}^n i  C ([0,1],\mathbb{R}) (l'espai de les funcions contínues que van de  [0,1] a \mathbb{R}).

Vegeu també[modifica | modifica el codi]