Espai separable

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search

En topologia, un espai topològic és un espai separable si inclou un subconjunt dens numerable.

Un espai de Hilbert és separable si i només si admet una base ortonormal numerable.

Espais de Hilbert separables[modifica]

Sigui (H,<,>) un espai de Hilbert separable. Si{ i k } k B és una base ortonormal numerable de V , llavors cada element x de V es pot escriure com

Aquesta suma també s'anomena l'expansió de Fourier de x.

Exemples d'espais de Hilbert són amb o l'espai de les successions complexes quadrat-sumables i l'espai de les funcions quadrat-integrables en el sentit de Lebesgue Una gran varietat d'espais de Hilbert que es presenten en la pràctica són separables i són en particular els espais i els prototips principals d'espais de Hilbert, ja que tot espai de Hilbert separable de dimensió finita és isomorf a mentre que tot espai de Hilbert separable de dimensió infinita és isomorf a .

Exemples[modifica]

Espais separables[modifica]

Espais de Hilbert no separables[modifica]

  • El conjunt de totes les funcions reals , que només són diferents de zero en un conjunt finit o comptable de punts S f tals que:

Constitueix un espai de Hilbert no separable, dotat del producte escalar entre dues funcions f i g :

Necessàriament aquestes funcions d'aquest espai de Hibert no són contínues, ja que els espais normats de funcions reals contínues definides en són sempre separables.