Espai separable

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En topologia, un espai topològic és un espai separable si inclou un subconjunt dens numerable.

Un espai de Hilbert és separable si i només si admet una base ortonormal numerable.

Espais de Hilbert separables[modifica | modifica el codi]

Sigui (H,<,>) un espai de Hilbert separable. Si{ i k } kB és una base ortonormal numerable de V , llavors cada element x de V es pot escriure com

 x =\sum_{k\in B}\langle e_k, x\rangle e_k

Aquesta suma també s'anomena l'expansió de Fourier de x.

Exemples d'espais de Hilbert són \mathbb K^n\, amb \mathbb K =\mathbb R o \mathbb K =\mathbb C, l'espai de les successions complexes quadrat-sumables \ell^2 (\mathbb K) i l'espai de les funcions quadrat-integrables en el sentit de Lebesgue  L^2 (\mathbb R^n). Una gran varietat d'espais de Hilbert que es presenten en la pràctica són separables i són en particular els espais \mathbb K^n i \ell^2 (\mathbb K) els prototips principals d'espais de Hilbert, ja que tot espai de Hilbert separable de dimensió finita  n\, és isomorf a \mathbb K^n mentre que tot espai de Hilbert separable de dimensió infinita és isomorf a \ell^2 (\mathbb K) .

Exemples[modifica | modifica el codi]

Espais separables[modifica | modifica el codi]

  • El conjunt dels nombres reals R amb la topologia usual és separable per ser el conjunt dels nombres racionals Q un subconjunt dens numerable. En general, l'espai euclidià R n és separable per ser Q n dens i numerable, ja que és el producte de conjunts numerables.
  • Igualment el conjunt dels nombres complexos C és separable sent en general, l'espai euclidià C n també separable.

Espais de Hilbert no separables[modifica | modifica el codi]

  • El conjunt de totes les funcions reals  f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}, que només són diferents de zero en un conjunt finit o comptable de punts S f tals que:


\sum_{x\in S_f}|f (x)|^2 <\infty

Constitueix un espai de Hilbert no separable, dotat del producte escalar entre dues funcions f i g :


\langle f, g\rangle =\sum_{S_f\cap S_g}\overline{f (x)}g (x)

Necessàriament aquestes funcions d'aquest espai de Hibert no són contínues, ja que els espais normats de funcions reals contínues definides en \mathbb{R}^n són sempre separables.