Constant d'Erdős–Borwein

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En matemàtiques, la constant d'Erdős–Borwein és una constant definida com la suma dels inversos dels primers de Mersenne; és a dir:

[1]

Rep aquest nom en honor del matemàtic hungarès Paul Erdős i al canadenc Peter Borwein.

Expressions equivalents[modifica]

Es pot demostrar que les següents expressions són equivalents a la constant d'Erdős-Borwein:

on σ0(n)=d(n) és la funció divisor, una funció multiplicativa que és igual al nombre de divisors positius del nombre n. Per demostrar l'equivalència dels sumatoris, noti's que totes prenen la forma de les sèries de Lambert, i poden per tant ser resumides en la primera.[2]

Irracionalitat[modifica]

Erdős va demostrar el 1948 que la constant E és un nombre irracional.[3] Posteriorment, el 1992, Borwein va aportar-ne una demostració alternativa.[4] Tot i la irracionalitat, la representació binària de la constant d'Erdős-Borwein pot ser calculada eficientment.[5][6]

Referències[modifica]

  1. (successió A065442 a l'OEIS)
  2. La primera de les formes ve donada per Knuth (1998), ex. 27, p. 157; Knuth atribueix la transformació d'aquesta forma a un treball de 1828 de Thomas Clausen.
  3. Erdős, P. «On arithmetical properties of Lambert series». J. Indian Math. Soc. (N.S.), 12, 1948, p. 63–66.
  4. Borwein, Peter B. «On the irrationality of certain series». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 112, 1, 1992, p. 141–146. DOI: 10.1017/S030500410007081X.
  5. Knuth (1998) observa que el càlcul de la constant es pot fer usant les sèries de Clausen, que convergeixen molt ràpidament, i acredita la idea de John Wrench.
  6. Crandall, Richard «The googol-th bit of the Erdős–Borwein constant». Integers, 12, 2012, p. A23. DOI: 10.1515/integers-2012-0007.

Enllaços externs[modifica]