Divisor

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca

En matemàtiques, un divisor d'un enter n, també anomenat un factor de n, és un enter que divideix n sense deixar residu.

Definició[modifica | modifica el codi]

Siguin m i n dos nombres enters o en general, dos elements d'un anell íntegre, es diu que m|n (que es llegeix: m divideix n, o m és divisor de n) si i només si existeix un element k tal que n = k·m.

De la mateixa manera que es diu que llavors m és un divisor o factor de n, també es pot dir que n és un múltiple de m.

Treballant amb nombres enters, els divisors poden ser positius o negatius. Com que els divisors negatius són exactament els mateixos que els positius multiplicats per −1, s'acostuma a parlar només dels divisors positius, sovint sense ni tan sols especificar-ho.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Gràfic amb el nombre de divisors positius dels enters entre 1 i 1000. Els nombres primers sempre en tenen 2. Els nombres altament compostos són en negreta.
  • El 7 és divisor de 42 perquè 42 / 7 = 6.
  • Els divisors positius de 42 són 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 i 42.
  • Tots els enters són divisors de 0, excepte, per convenció, el mateix 0.
  • 1 i −1 són divisors de tots els enters.
  • Tots els enters són divisors de si mateixos, anomenats divisors impropis. Un divisor positiu de n diferent de n s'anomena divisor propi o part alíquota.
  • 1, −1, n i −n s'anomenen els divisors trivials de n. Qualsevol altre divisor s'anomena no trivial. Els nombres amb divisors no trivials reben el nom de nombres compostos, mentre que els nombres primers són els que només tenen divisors trivials.
  • Els nombres divisibles per 2 s'anomenen parells i els que no ho són, senars.
  • Podem saber si nombre escrit amb un sistema de notació posicional és divisible per algun dels factors de la base mirant només la xifra de les unitats. Per exemple, els nombres escrits en l'habitual base decimal que acaben en 5 o en 0 són múltiples de 5, i els que acaben en 2, 4, 6, 8 o 0 són múltiples de 2. Aquests són els criteris de divisibilitat més senzills.
  • El conjunt de divisors positius de 60 és { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 }. Amb l'ordre donat per la relació de divisibilitat té el diagrama de Hasse següent:
Lattice of the divisibility of 60; factors.svg

Vegeu també[modifica | modifica el codi]