Nombres amics

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

Els nombres amics són dos nombres enters relacionats de manera que la suma dels divisors propis del primer és igual al segon, i la suma dels divisors propis del segon és igual al primer.

Per exemple, 220 i 284 són nombres amics, ja que la suma dels divisors propis de 220, 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284, i la suma dels divisors propis de 284, 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

El matemàtic àrab Thàbit ibn Qurra derivà, cap al 850, una fórmula que permet generar nombres amics. Si

p = 3 × 2n-1 - 1,
q = 3 × 2n - 1,
r = 9 × 22n-1 - 1,

on n > 1 és un enter qualsevol i p, q i r són primers, llavors 2npq i 2nr són una parella de nombres amics. Cal notar que aquesta fórmula permet generar nombres amics, però no tots els nombres amics. Per exemple, ens proporciona les parelles (220, 284), (17.296, 18.416) i (9.363.584, 9.437.056), però no la parella (6.232, 6.368).

Es pot considerar que els nombres perfectes són un cas especial de nombres amics, ja que la suma dels seus divisors propis és igual a ell mateix.

Exemples[modifica]

Els primers parells de nombres amics coneguts són els següents:[1]

Ordre Primer nombre Segon nombre
1 220 284
2 1.184 1.210
3 2.620 2.924
4 5.020 5.564
5 6.232 6.368
6 10.744 10.856
7 12.285 14.595
8 17.296 18.416
9 63.020 76.084
10 66.928 66.992
11 67.095 71.145
12 69.615 87.633
13 79.750 88.730

Implementació en informàtica[modifica]

En C++ es pot construir un codi que automatitzi la cerca de nombres amics. A les línies de sota, l'usuari pot introduir dos nombres i el programa dirà si són amics o no.

#include <iostream>
using namespace std;
int suma_divisors(int a) {
   int s = 0;
   for(int i = 1; i < a; ++i) if(a%i==0) s += i;
   return s;
}
bool son_amics(int a, int b) {
   if(a == suma_divisors(b) && b == suma_divisors(a)) return true;
   return false;
}

Referències[modifica]

  1. Gardner, Martin. «11. Perfectos, amigos y sociables». A: Festival mágico-matemático (en espanyol). 2a. Madrid: Alianza Editorial, 2018, p. 220. ISBN 978-84-8181-315-6 [Consulta: 22 febrer 2020]. 

Vegeu també[modifica]

Enllaços externs[modifica]