Nombre e

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca
Infotaula nombreNombre e
Tipus nombre transcendent, nombre real i nombre irracional
Epònim Leonhard Euler i John Napier
Propietats
Valor 2,718281828459
Altres numeracions
Fórmules
Expressió algebraica
  
Modifica dades a Wikidata
El gràfic , i e és el nombre que fa l'àrea igual a 1.

La constant matemàtica e és la base dels logaritmes naturals: és l'únic nombre el logaritme natural del qual és 1. És un nombre irracional i transcendent les primeres xifres de la seva expressió decimal il·limitada són 2,7182818284590.[1]

El nombre e es defineix com el límit de la successió  . Aquest límit existeix, ja que la successió és creixent i limitada per sobre.

 

Aquesta expressió del nombre e apareix en l'estudi de l'interès compost. El nombre e apareix en múltiples camps de les matemàtiques, des de la teoria de la probabilitat a l'anàlisi complexa. És considerat el nombre per excel·lència del càlcul de la mateixa manera que el nombre  ho és de la geometria.

És un nombre present en múltiples camps de la ciència i la tècnica. Intervé, per exemple en el càlcul de la velocitat de buidatge d'un dipòsit d'aigua, en el gir d'un penell enfront d'una ràfega de vent o el moviment del sistema amortidor d'un automòbil.

El nombre e s'anomena a vegades constant d'Euler, en honor del matemàtic suís Leonhard Euler i també constant de Napier, en honor del matemàtic escocès John Napier que va introduir els logaritmes.

El nombre e es pot definir també mitjançant la sèrie infinita

on n! és el factorial de n. Aquesta sèrie convergeix puix que hom ha

és a dir, el desenvolupament en sèrie de e és majorat mitjançant una sèrie geomètrica convergent, en tant que de raó 1/2.

Finalment, es pot considerar e com a l'única solució positiva x de l'equació integral

Es pot demostrar que aquestes definicions són equivalents.

La funció exponencial és important ja que és l'única (a menys de multiplicació per a constants) funció que és igual a la seva derivada, i s'usa habitualment per a modelitzar processos de creixement o decreixement.

La fracció contínua de e conté una estructura interessant, com es mostra a continuació:

La següent expressió, la identitat d'Euler, que relaciona les cinc constants més importants en matemàtiques, va ser descoberta per Leonhard Euler:

Aquesta és un cas particular (amb x = 0 i y = π) de la fórmula d'Euler:

vàlida per a tot (i de fet per a tot ).

El valor del nombre e aproximat per truncament als 50 decimals és 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995

Asímptotes[modifica | modifica el codi]

El nombre e surt de manera natural en diferents problemes que involucren a les asímptotes. Un exemple és la fórmula de Stirling que es fa servir per l'anàlisi asimptòtica de la funció factorial, on els dos nombres e i π es troben involucrats:

Una conseqüència particular és:

.

Implementació en informàtica[modifica | modifica el codi]

Es pot realitzar una aproximació del nombre e amb n termes de la seqüència de Taylor citada. En C++ tenim un codi com el següent:

#include <iostream>
using namespace std;

double aproxima_e(int n) {
    //funció que aproxima el nombre e amb la seqüència de taylor:
    // suma 1/fact(i) des de i=0 fins n
    //no cal fer servir la funció factorial en cada denominador.
    if(n == 0) return 0;
    double facti = 1;  //ini a 1: factorial(0). necessitem que sigui double per evitar errors de sobreeiximent
    double s = 1;
    for(int i = 1; i < n; ++i) {
        facti *= i;        
        s += 1/double(facti);      
    }
    
    return s;
}
 
int main() {
    cout.setf(ios::fixed);
    cout.precision(10);
 
    int n;
    while(cin >> n) {
        cout << "Amb " << n << " terme(s) obtenim " << aproxima_e(n) << endl;
    }
}

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. «e». L'Enciclopèdia.cat. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Nombre e Modifica l'enllaç a Wikidata