Nombre e

Nombre e

Tipus	nombre transcendent, nombre real, nombre irracional i constant matemàtica
Epònim	Leonhard Euler i John Napier
Propietats
Valor	2,718281828459
Altres numeracions
Fórmules
Expressió algebraica	$\mathrm {e} =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ i $\mathrm {e} =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$

El gràfic y=1/x, i e és el nombre que fa l'àrea igual a 1.

La constant matemàtica e és la base dels logaritmes naturals, és l'únic nombre el logaritme natural del qual és 1. És considerat el nombre per excel·lència del càlcul de la mateixa manera que el nombre $\pi$  ho és de la geometria. El nombre e s'anomena a vegades constant d'Euler, en honor del matemàtic suís Leonhard Euler i també constant de Napier, en honor del matemàtic escocès John Napier que va introduir els logaritmes.

El número e té una importància eminent en matemàtiques al costat de 0, 1, π i i. Els cinc apareixen en una formulació de la identitat d'Euler i tenen un paper important i recurrent en les matemàtiques. Igual que la constant π, e és irracional (és a dir, no es pot representar com una proporció de nombres enters) i transcendent (és a dir, no és una arrel de cap polinomi diferent de zero amb coeficients racionals). Les primeres xifres de la seva expressió decimal il·limitada són 2,7182818284590. És un nombre present en múltiples camps de la ciència i la tècnica. Intervé, per exemple en el càlcul de la velocitat de buidatge d'un dipòsit d'aigua, en el gir d'un penell enfront d'una ràfega de vent o el moviment del sistema amortidor d'un automòbil.

Definició

El nombre e es defineix com el límit de la successió $n\mapsto \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$. Aquest límit existeix, ja que la successió és creixent i limitada per sobre.

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

Aquesta expressió del nombre e apareix en l'estudi de l'interès compost. El nombre e apareix en múltiples camps de les matemàtiques, des de la teoria de la probabilitat a l'anàlisi complexa. El seu valor aproximat per truncament als 50 decimals és 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995

El nombre e es pot definir també mitjançant la sèrie infinita

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots$

on n! és el factorial de n. Aquesta sèrie convergeix puix que hom té

$1+1+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots \leq 1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots =3,$

és a dir, el desenvolupament en sèrie de e és majorat mitjançant una sèrie geomètrica que és convergent perquè té una raó igual a 1/2.

Finalment, es pot considerar e com a l'única solució positiva x de l'equació integral

$\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={1}.$

Es pot demostrar que aquestes definicions són equivalents.

La funció exponencial $x\longmapsto e^{x}$és important ja que és l'única (a menys de multiplicació per constants) funció que és igual a la seva derivada, i s'usa habitualment per a modelitzar processos de creixement o decreixement.

La fracció contínua de e conté una estructura interessant, com es mostra a continuació:

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12...]\,$

Història

Les primeres referències a la constant es van publicar el 1618 a la taula d'un apèndix d'un treball sobre logaritmes de John Napier. Tanmateix no contenia la constant en si, sinó simplement una llista de logaritmes calculats a partir de la constant. Se suposa que la taula va ser escrita per William Oughtred. El propi descobriment de la constant s’acredita a Jacob Bernoulli el 1683, que va intentar trobar el valor de la següent expressió (que és igual a e):

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

El primer ús conegut de la constant, representat per la lletra b, fou en correspondència de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens el 1690 i el 1691. Leonhard Euler va introduir la lletra e com a base per als logaritmes naturals, escrivint en una carta a Christian Goldbach el 25 de novembre de 1731. Euler va començar a utilitzar la lletra e per a la constant el 1727 o el 1728, en un document inèdit sobre les forces explosives en canons, mentre que la primera aparició d'e en una publicació va ser a Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736).

Identitat d'Euler

Article principal: Identitat d'Euler

La següent expressió, la identitat d'Euler, que relaciona les cinc constants més importants en matemàtiques, va ser descoberta per Leonhard Euler:

$e^{i\pi }+1=0\,\!$

Aquesta és un cas particular (amb x = 0 i y = π) de la fórmula d'Euler:

$e^{x+i\cdot y}=e^{x}\cdot (\cos y+i\cdot \sin y)$

vàlida per a tot $x,y\in {\mathbb {R} }$ (i de fet per a tot $x,y\in {\mathbb {C} }$).

Asímptotes

El nombre e surt de manera natural en diferents problemes que involucren les asímptotes. N'és un exemple la fórmula de Stirling que es fa servir per a l'anàlisi asimptòtica de la funció factorial, on els dos nombres e i π es troben involucrats:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Una conseqüència particular és:

$e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}$.

Implementació en informàtica

Es pot calcular una aproximació del nombre e amb n termes de la seqüència de Taylor citada. En C++ tenim un codi com el següent:

#include <iostream>
using namespace std;

double aproxima_e(int n) {
    //funció que aproxima el nombre e amb la seqüència de taylor:
    // suma 1/fact(i) des de i=0 fins n
    //no cal fer servir la funció factorial en cada denominador.
   if(n == 0) return 0;
    double facti = 1;  //ini a 1: factorial(0). necessitem que sigui double per evitar errors de sobreeiximent
    double s = 1;
    for(int i = 1; i < n; ++i) {
        facti *= i;        
        s += 1/double(facti);      
    }

    return s;
}

int main() {
    cout.setf(ios::fixed);
    cout.precision(10);

   int n;
    while(cin >> n) {
        cout << "Amb " << n << " terme(s) obtenim " << aproxima_e(n) << endl;
    }
}

Referències

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Nombre e