Nombre imaginari

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

Un nombre imaginari és un nombre que elevat al quadrat resulta un nombre real més petit o igual que zero.[1] Els nombres imaginaris van ser definits l'any 1572 per Rafael Bombelli.[2][3] Inicialment, molts matemàtics eren reticents a considerar-los com a nombres, entre ells René Descartes, que va encunyar el terme amb propòsit despectiu.[4]

Tots els nombres imaginaris poden ser expressats com a bi, en què b és un nombre real, i representem com a i la unitat imaginària, definida de forma que = -1. Com que qualsevol nombre negatiu -n es pot expressar com a -1·n, resulta que de manera que:.[5]

Amb el conjunt de nombres imaginaris es pot estendre el conjunt dels reals fins al conjunt dels nombres complexos. Tenint-ho en compte, podem definir també els nombres imaginaris com aquells complexos de forma a+bi que tenen com a part real a=0.

Els nombres imaginaris juguen un paper fonamental en diverses disciplines matemàtiques com l'anàlisi complexa o l'àlgebra, així com en diferents branques de la física, com ara l'electrònica o la mecànica quàntica.

En electrònica, així com en moltes altres disciplines, per no confondre la i sovint utilitzada per expressar les intensitats o altres magnituds físiques, es fa servir la j com a indicador de la unitat imaginària.

Operacions amb nombres imaginaris[modifica]

Suma i resta de nombres imaginaris[modifica]

Els nombres imaginaris se sumen i resten com si fossin nombres reals, conservant sempre la i indicador de nombre imaginari.

ai + bi = (a+b)i
ai - bi = (a-b)i

Per exemple:

i + 4i = 5i
2,3i −1,6i +5,7i = 6,4i

Multiplicació i divisió de nombres imaginaris[modifica]

En multiplicar dos nombres imaginaris o dividir un real entre un imaginari, s'ha de tenir en compte que i·i = -1:

D'aquesta manera:

ai · bi = -(a·b)
a · bi = (a·b) i
ai / bi = a/b
ai / b = (a/b) i
a / bi = -(a/b)i

Si b és nul la divisió no està definida.

Referències[modifica]

  1. Concepció Arenas. Exactitud que fa funcionar el món, L’. Edicions Universitat Barcelona, 3 juny 2015, p. 75–. ISBN 978-84-475-4200-0. 
  2. Raffaele Bombelli. L'Algebra Opera Di Rafael Bombelli da Bologna Diuisa in tre Libri (etc.). Giovanni Rossi, 1579, p. 3–. 
  3. Matemáticas e imaginación. Libraria, 2007, p. 81–. ISBN 978-968-5374-20-0. 
  4. United States. Air Force. Office of Scientific Research. Science in the Sixties: Th Tenth Anniversary AFOSR Scientific Seminar. June 1965. University of New Mexico, Office of Publications, 1965, p. 16–. 
  5. José Antonio Peñarrocha Gantes. Mètodes matemàtics. Variable complexa. Universitat de València, desembre 1997, p. 21–. ISBN 978-84-370-3322-8.