Nombre imaginari

Un nombre imaginari és un nombre que elevat al quadrat resulta un nombre real més petit o igual que zero. Els nombres imaginaris van ser definits l'any 1572 per Rafael Bombelli. Inicialment, molts matemàtics eren reticents a considerar-los com a nombres, entre ells René Descartes, que va encunyar el terme amb propòsit despectiu.

Tots els nombres imaginaris poden ser expressats com a bi, en què b és un nombre real, i representem com a i la unitat imaginària, definida de forma que i² = -1. Com que qualsevol nombre negatiu -n es pot expressar com a -1·n, resulta que ${\sqrt {-n}}={\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {-1}}$${\sqrt {-n}}={\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {-1}}$ de manera que:${\sqrt {-n}}={\sqrt {n}}\cdot i$${\sqrt {-n}}={\sqrt {n}}\cdot i$.

Amb el conjunt de nombres imaginaris es pot estendre el conjunt dels reals fins al conjunt dels nombres complexos. Tenint-ho en compte, podem definir també els nombres imaginaris com aquells complexos de forma a+bi que tenen com a part real a=0.

Els nombres imaginaris juguen un paper fonamental en diverses disciplines matemàtiques com l'anàlisi complexa o l'àlgebra, així com en diferents branques de la física, com ara l'electrònica o la mecànica quàntica.

En electrònica, així com en moltes altres disciplines, per no confondre la i sovint utilitzada per expressar les intensitats o altres magnituds físiques, es fa servir la j com a indicador de la unitat imaginària.

Operacions amb nombres imaginaris

Suma i resta de nombres imaginaris

Els nombres imaginaris se sumen i resten com si fossin nombres reals, conservant sempre la i indicador de nombre imaginari.

ai + bi = (a+b)i

ai - bi = (a-b)i

Per exemple:

i + 4i = 5i

2,3i −1,6i +5,7i = 6,4i

Multiplicació i divisió de nombres imaginaris

En multiplicar dos nombres imaginaris o dividir un real entre un imaginari, s'ha de tenir en compte que i·i = -1:

D'aquesta manera:

ai · bi = -(a·b)

a · bi = (a·b) i

ai / bi = a/b

ai / b = (a/b) i

a / bi = -(a/b)i

Si b és nul la divisió no està definida.