Derivada feble

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En matemàtiques, una derivada feble és una generalització del concepte de derivada d'una funció (derivada forta) per a funcions no derivables, sinó només integrables, és a dir que pertanyen a l'Espai de Lebesgue . Vegeu distribucions per a una definició fins i tot més general.

Definició[modifica]

Sia una funció en l'espai de Lebesgue . Es Diu que en és un derivada feble de si

per a tota funció infinitament derivable amb . Aquesta definició està motivada per la tècnica d'integració d'integració per parts.

Generalitzant a n dimensions, si i pertanyen a l'espai de funcions localment integrables per a algun conjunt obert , i si és un multiíndex, es diu que és la derivada feble de si

per a tot , és a dir, per a tota funció infinitament diferenciables amb suport compacte en . Si té uns derivada feble, aquesta s'escriu sovint ja que les derivades febles són úniques (com a mínim, tret d'un conjunt de mesura zero, vegeu més avall).

Exemples[modifica]

  • La funció valor absolut u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, que no és diferenciable a t = 0, té una derivada feble v coneguda com la funció signe donada per
Aquesta no és l'única derivada feble per a u: qualsevol w que sigui igual a v gairebé a tot arreu és també un derivada feble de u. Normalment, això no és un problema, ja que en la teoria de espais Lp i Espais de Sobolev, les funcions que són iguals gairebé a tot arreu s'identifiquen.
  • La funció característica dels nombres racionals no és diferenciable enlloc però té una derivada feble a tot arreu. Com que la mesura de Lebesgue dels nombres racionals és zero,
Així és el derivada feble de . Fixeu-vos que això està d'acord amb la intuïció ja que quan es considera com a membre d'un espai Lp, s'identifica amb la funció zero.

Propietats[modifica]

Si dues funcions són derivades febles de la mateixa funció, són iguals excepte en un conjunt amb mesura de Lebesgue zero, és a dir, són iguals gairebé a tot arreu. Si es consideren classes d'equivalència de funcions, on dues funcions són equivalents si són iguals gairebé a tot arreu, llavors la derivada feble és única.

També, si u és diferenciable en el sentit convencional llavors la seva derivada feble és idèntica (en el sentit donat a dalt) a la seva derivada convencional (forta). Així la derivada feble és una generalització de la forta. A més, les regles clàssiques per a les derivats de sumes i productes de funcions també es compleixen per a la derivada feble.

Estenssions[modifica]

Aquest concepte causa a les solucions febles en espais de Sobolev, que són útils per a problemes d'equacions diferencials i en anàlisi funcional.

Vegeu també[modifica]

Referències[modifica]