Desigualtat de Minkowski

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En anàlisi matemàtica, la desigualtat de Minkowski estableix que els espais Lp són espais vectorials amb una norma. Sia S un espai mesurable, sia 1 ≤ p ≤ ∞ i siguin f i g elements de Lp(S). Llavors f + g és de Lp(S), i es té

amb la igualtat pel cas 1 < p < ∞ si i només si f i g són positivament linealment dependents ( la qual cosa vol dir que f = g o g = f per alguna ≥ 0).

La desigualtat de Minkowski és la desigualtat triangular en Lp(S).

Igual com la desigualtat de Hölder, la desigualtat de Minkowski es pot especificar per a successions i vectors a base de fer:

per a tots els nombres reals (o complexos) x1, ..., xn, y1, ..., yn i on n és el cardinal de S (el nombre d'elements de S).

Demostració[modifica | modifica el codi]

Primer es demostra que f+g té una p-norma finita so f i g totes dues la tenen, això se segueix de

En efecte, aquí es fa servir el fet que és una funció convexa sobre (per a més gran que 1) i per tant, si a i b són tots dos positius llavors

Això vol dir que

Ara, es pot parlar legítimament de . Si és zero, Llavors es compleix la desigualtat de Minkowski. Ara, suposant que no és zero. Fent servir la desigualtat de Hölder

S'obté la desigualtat de Minkowski multiplicant els cos cantons per .

Referències[modifica | modifica el codi]

  • Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. and Pólya, G.. Inequalities. 1952a ed.. Cambridge: Cambridge University Press, 1988, p. xii+324 (Cambridge Mathematical Library). ISBN 0-521-35880-9. 
  • H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, Chelsea, reprint (1953)
  • M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104