Desigualtat de Minkowski

En anàlisi matemàtica, la desigualtat de Minkowski estableix que els espais L^p són espais vectorials amb una norma. Sia S un espai mesurable, sia 1 ≤ p ≤ ∞ i siguin f i g elements de L^p(S). Llavors f + g és de L^p(S), i es té

$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$

amb la igualtat pel cas 1 < p < ∞ si i només si f i g són positivament linealment dependents (la qual cosa vol dir que f = $\lambda$ g o g = $\lambda$ f per alguna $\lambda$ ≥ 0).

La desigualtat de Minkowski és la desigualtat triangular en L^p(S).

Igual com la desigualtat de Hölder, la desigualtat de Minkowski es pot especificar per a successions i vectors a base de fer:

$\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}$

per a tots els nombres reals (o complexos) x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n i on n és el cardinal de S (el nombre d'elements de S).

Demostració

Primer es demostra que f+g té una p-norma finita so f i g totes dues la tenen, això se segueix de

$|f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p})$

En efecte, aquí es fa servir el fet que $h(x)=x^{p}$ és una funció convexa sobre $\mathbb {R} ^{+}$ (per a $p$ més gran que 1) i per tant, si a i b són tots dos positius llavors

$\left({\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{2}}b\right)^{p}\leq {\frac {1}{2}}a^{p}+{\frac {1}{2}}b^{p}$

Això vol dir que

$(a+b)^{p}\leq 2^{p-1}a^{p}+2^{p-1}b^{p}$

Ara, es pot parlar legítimament de $(\|f+g\|_{p})$. Si és zero, Llavors es compleix la desigualtat de Minkowski. Ara, suposant que $(\|f+g\|_{p})$ no és zero. Fent servir la desigualtat de Hölder

$\|f+g\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu$

$\leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu$

$=\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu$

${\stackrel {{\text{H}}{\ddot {\text{o}}}{\text{lder}}}{\leq }}\left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}$

$=(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}$

S'obté la desigualtat de Minkowski multiplicant els cos cantons per ${\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}$.

Referències

• Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. and Pólya, G.. Inequalities. 1952a ed.. Cambridge: Cambridge University Press, 1988, p. xii+324 (Cambridge Mathematical Library). ISBN 0-521-35880-9. 
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104