Mòdul

Un A-mòdul és una estructura algebraica que involucra un anell A i un grup abelià. Es tracta d'una generalització de l'estructura d'espai vectorial en la què el cos d'escalars es restringeix a un anell.

A-mòduls per l'esquerra

Sigui $A\,$ un anell i $M\,$ un grup abelià. El grup $M\,$ té estructura de $A$-mòdul per l'esquerra si l'anell $A\,$ opera linealment per l'esquerra sobre els elements de $M\,$, és a dir, si hi ha una operació externa de $A\,$ sobre $M\,$:

${\begin{matrix}A\times M\longrightarrow M\\(\lambda ,x)\longmapsto \lambda x\end{matrix}}\,$

amb les condicions de linealitat

$\lambda (x+y)=\lambda x+\lambda y\,$

$(\lambda +\mu )x=\lambda x+\mu x\,$

$(\lambda \mu )x=\lambda (\mu x)\,$

per a $\lambda ,\mu \in A$ i $x,y\in M$. Si, a més, l'anell té unitat, es demana que

$1x=x\,$

A-mòduls per la dreta

Si l'operació externa és per la dreta,

${\begin{matrix}M\times A\longrightarrow M\\(x,\lambda )\longmapsto x\lambda \end{matrix}}\,$

amb les corresponents condicions de linealitat:

$(x+y)\lambda =x\lambda +y\lambda \,$

$x(\lambda +\mu )=x\lambda +x\mu \,$

$x(\lambda \mu )=(x\lambda )\mu \,$

aleshores es tracta d'un $A$-mòdul per la dreta.

A-mòduls bilàters

Si l'anell $A$ és conmutatiu, aleshores és possible la identificació $\lambda x=x\lambda$, perquè les condicions $(\lambda \mu )x=\lambda (\mu x)\,$ i $x(\lambda \mu )=(x\lambda )\mu \,$ ja no són contradictòries. Aleshores $M$ té estructura de $A$-mòdul bilàter o, simplement, d'$A$-mòdul. El costum, però, és d'escriure'n les propietats i els càlculs com si es tractés d'un $A$-mòdul per l'esquerra.

Exemples

• Si $A$ és un anell, ell mateix es pot considerar com a $A$-mòdul de manera natural:

${\begin{matrix}A\times A\longrightarrow A\\(x,y)\longmapsto xy\end{matrix}}\,$

• Els grups conmutatius són $\mathbb {Z}$-mòduls. En efecte, si $G$ és un grup conmutatiu (notació aditiva) i $n\in \mathbb {Z}$, l'operació externa de $\mathbb {Z}$ sobre $G$ donada per:

${\begin{matrix}\mathbb {Z} \times G\longrightarrow G\\(n,g)\longmapsto {\begin{cases}\overbrace {g+g+\cdots +g} ^{n},{\mbox{ si }}n>0\\0,{\mbox{ si }}n=0\\-(\overbrace {g+g+\cdots +g} ^{-n}),{\mbox{ si }}n<0\end{cases}}\end{matrix}}\,$

dota al grup $G$ d'una estructura de $\mathbb {Z}$-mòdul.

• Els espais vectorials sobre un cos $K$ són $K$-mòduls.

• Si $\operatorname {Hom} _{A}(E)$ és l'anell d'endomorfismes d'un $A$-mòdul $M$, l'operació externa

${\begin{matrix}\operatorname {Hom} _{A}(E)\times M\longrightarrow M\\(\varphi ,x)\longmapsto \varphi (x)\end{matrix}}\,$

fa que $M$ es pugui considerar un $\operatorname {Hom} _{A}(E)$-mòdul.

• Si $A$ és un anell i ${\mathfrak {a}}\,$ n'és un ideal (per l'esquerra), aleshores el propi ${\mathfrak {a}}\,$, amb l'operació

${\begin{matrix}A\times {\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathfrak {a}}\\(x,a)\longmapsto xa\end{matrix}}\,$

és un $A$-mòdul (per l'esquerra), perquè, per a tot $a\in {\mathfrak {a}}$ i tot $x\in A$, el producte $xa$ pertany a ${\mathfrak {a}}\,$.