Fibrat

En topologia, un fibrat (o fes fibrat ) és una funció contínua suprajectiva π, d'un espai topològic V a un altre espai topològic B , satisfent una altra condició que ho fa d'una manera particularment simple localment. Introduint un altre espai topològic F, utilitzem la funció de projecció de B x F → B com a model. Per exemple en el cas d'un fibrat vectorial, F és un espai vectorial sobre els nombres reals.

Definició

Un fibrat consisteix en un quaternal $(E,B,\pi ,F)\,$, on $E\,$, $B\,$ i $F\,$ són varietat és i $\pi :E\longrightarrow B$ és una aplicació contínua i suprajectiva, de manera que s'ha de complir que per a qualsevol $x\in B\,$ hi ha un entorn $U_{\alpha }\,$ a $B\,$, tal que $\pi ^{-1}(U_{\alpha })\,$ és homeomorf a $U_{\alpha }\times F\,$, d'una manera que $\pi \,$ transporta a la projecció sobre el primer factor (és a dir, si $p:U_{\alpha }\times F\longrightarrow U_{\alpha }$ és la projecció sobre $U_{\alpha }\,$; ie, $p(i,f)=i\,$ qualsevol que siguin $i\in U_{\alpha }\,$ i $f\in F\,$). A més s'exigeix que $\phi _{\alpha }:\pi ^{-1}(U_{\alpha })\longrightarrow U_{\alpha }\times F$ sigui un Homeomorfisme. Així $\pi =p\circ \phi _{\alpha }$.

$B\,$ es diu el espai de base del fibrat, $E\,$ l' espai total , per a qualsevol $x\in B\,$, $\pi ^{-1}(x)\,$ es diu la fibra En $x\,$ i la funció $\pi \,$ s'anomena la funció de projecció.

Exemples

Cada funció de projecció natural p : B x F → B és un fibrat. Els fibrats com aquests es diuen els fibrats trivials . Un exemple estàndard, localment trivial però no (globalment) trivial és la Banda de Möbius com L , en la qual B es pot prendre com un cercle i F un segment de línia. L' torçada a la cinta és evident només globalment, mentre que localment l'estructura de la cinta defineix la topologia. Cada fibrat vectorial és un fibrat; aquí F és un espai vectorial sobre els nombres reals. Per qualificar com fibrat vectorial, les transicions que relacionen les veïnatges localment trivialitzar hauran de ser lineals també. Cada espai recobridores (en anglès covering space ) és un fibrat, aquí l'espai fibra F és discret.

Cada fibrat π: L → B és una funció oberta, ja que les projeccions de productes cartesians són funcions obertes.

Seccions

Una secció d'un fibrat és una funció contínua, f : B → e tal que π (f (x)) = x , per x a B . Com els fibrats en general no té seccions, un dels propòsits de la teoria és explicar la seva existència. Això condueix a la teoria de les classes característiques a topologia algebraica.

Grup estructural

Hi ha, de vegades, un grup topològic G de transformacions de L , tal que si ρ denota l'acció, π (ρ (g) [e]) = π (i) per g a G i i a L . La condició indica que cada G-òrbita resideix dins d'una sola fibra. En aquest cas, G es diu grup estructural del fibrat. Per qualificar com G -fibrat, les condicions que s'aparellen entre les veïnatges trivialitzar locals haurien de ser els Intertwined s de G-accions també.

Si, a més, actua G lliurement, transitivament i contínuament sobre cada fibra, aleshores anomenem l'fibrat fibrat principal de . Un exemple d'un fibrat principal que passa naturalment en geometria és el fibrat de totes les bases dels espais tangents a una varietat, amb G grup general lineal, la restricció en geometria de Riemann a les bases ortonormals, limitaria G al grup ortogonal. Vegeu vierbein per a més detalls.

Fer G explícit és essencial per a les operacions de crear un fibrat associat, i fer necessària la reducció del grup estructural d'un fibrat.

Aplicacions

Un dels usos primaris dels fibrats és a les teories de calibre.

Vegeu també

• Fibració
• Varietat
• Fibrat de Seifert

Enllaços externs

• PlanetMath: Fiber Bundle
• MathWorld: Fiber Bundle