Lleis de Kirchhoff

Les lleis de Kirchhoff són dues lleis que tracten de la conservació de la càrrega elèctrica i l'energia als circuits elèctrics:

La primera, anomenada llei dels nusos, expressa que la suma algèbrica dels corrents elèctrics que conflueixen en un nus és nul·la: ${\textstyle \sum I=0}$ .
La segona, anomenada llei de les malles, expressa que en una malla qualsevol la suma de les forces electromotrius és igual a la suma de les caigudes de tensió: ${\textstyle \sum {\mathcal {E}}=\sum RI}$ .

S'entén per malla el conjunt de branques d'un circuit elèctric o d'una xarxa elèctrica que constitueix un recorregut tancat que es pot dibuixar passant una única vegada per un mateix nus.^[1] La força electromotriu ve simbolitzada per ${\mathcal {E}}$ . Les caigudes de tensió $\Delta V$ es calculen emprant la llei d'Ohm: $\Delta V=RI$ , on $R$ és la resistència del conductor i $I$ la intensitat del corrent que hi circula.

Aquestes lleis foren publicades el 1845 a l'article Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige (Sobre el pas d'un corrent elèctric a través d'un pla, especialment a través d'un de circular)^[2] pel físic alemany Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), quan tenia només 21 anys i encara era estudiant. Malgrat que les lleis es troben en aquest article de 1845, Kirchhoff les generalitzà i sistematitzà encara més en un segon article publicat el 1847 titulat Ueber die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung der linearen Vertheilung galvanischer Ströme geführt wird (Sobre la resolució de les equacions a les quals hom arriba en l'estudi de la distribució lineal de corrents galvànics),^[3] on va aplicar conceptes de la teoria de grafs per resoldre xarxes elèctriques complexes. Ambdues lleis poden ser deduïdes de les equacions de Maxwell, però Kirchhoff precedí al físic escocès James Clerk Maxwell (1831-1879) i, en compte d'això, generalitzà el treball del físic alemany Georg Ohm (1789-1854).^[4]

Llei dels nodes

En aquest nus $\bullet$ es compleix que: $-I_{1}+I_{2}+I_{3}-I_{4}=0$

La llei dels nodes també s'anomena llei de Kirchhoff del corrent, llei dels nusos o primera llei de Kirchhoff. El principi de conservació de la càrrega elèctrica implica que en qualsevol punt d'un circuit elèctric on la densitat de càrrega no canvia amb el temps, la suma dels corrents elèctrics que flueixen cap a aquest punt és igual a la suma de corrents que ixen en aquest punt.^[1]

$\sum _{k=1}I_{k}=0$

on $I_{k}$ és la $k$ -èsima intensitat que arriba a un nus determinat. Una intensitat es defineix amb signe positiu si el seu sentit és entrant al nus i amb signe negatiu en cas contrari. En un circuit amb $N$ nusos, existeixen $N-1$ equacions independents, sent la $N$ -èsima una combinació lineal de les $N-1$ restants.^[1]

Una densitat de càrrega canviant en el temps significaria l'acumulació d'una càrrega neta positiva o negativa, que típicament no pot passar d'una manera significant per la magnitud de les forces electroestàtiques: l'augment de la càrrega faria que les forces de repulsió dispersessin les càrregues.^[5]

Tanmateix, un augment de la càrrega pot donar-se en un condensador, on la càrrega es distribueix per unes làmines paral·leles, amb una separació física en el circuit que evita que les acumulacions de càrregues positives o negatives en aquestes dues làmines es toquessin i s'anul·lessin. En aquest cas, la suma dels corrents que flueixen cap a una làmina del condensador no és zero, sinó que més aviat seria igual a la velocitat d'acumulació de la càrrega. Així i tot, si el corrent de desplaçament dD/dt s'inclou, la llei dels nodes de Kirchhoff es torna a complir (Açò sols és necessari si hom vol aplicar la llei dins del condensador. En l'anàlisi de circuits els condensadors solen tractar-se com un tot, i en eixe cas el corrent ordinari es manté, ja que la càrrega és sempre zero.)

Més tècnicament, la llei de Kirchhoff del corrent pot trobar-se agafant la divergència de la llei d'Ampère amb la correcció de Maxwell i combinant-la amb la llei de Gauss, obtenint:

$\nabla \cdot \mathbf {J} =-\nabla \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

Aquesta expressió és el que hom coneix com l'equació de continuïtat en electromagnetisme. És una descripció matemàtica molt elegant d'un principi fonamental de la física: la càrrega elèctrica no es crea ni es destrueix, només es mou.

1. $\nabla \cdot \mathbf {J}$ (La divergència de la densitat de corrent)

$\mathbf {J}$ (densitat de corrent): Representa el flux de càrrega elèctrica per unitat d'àrea. Ens diu quanta càrrega està passant per un punt en una direcció determinada.
$\nabla \cdot$ (operador divergència): En càlcul vectorial, la divergència mesura si un fluid (en aquest cas, el corrent) està "sortint" d'un punt o "entrant-hi".
- Si $\nabla \cdot \mathbf {J} >0$ , el corrent s'està allunyant d'aquell punt (com una font).
- Si $\nabla \cdot \mathbf {J} <0$ , el corrent està convergint cap a aquell punt (com un desguàs).^[6]

2. $-\nabla \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ (La part de Maxwell) Aquest terme és el cor de les equacions de Maxwell i ens parla del corrent de desplaçament:

$\mathbf {D}$ (camp de desplaçament elèctric): És un camp vectorial que representa com el camp elèctric afecta l'organització de les càrregues en un medi.
${\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ : Representa com varia aquest camp elèctric amb el temps ( $t$ ).
Maxwell descobrí que un camp elèctric que canvia en el temps actua exactament igual que un corrent elèctric real (el terme $\mathbf {J}$ ), generant un camp magnètic. El signe negatiu indica que si el corrent surt d'una regió, el camp elèctric en aquesta regió ha de disminuir per compensar-ho.^[6]

3. $-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$ (la conservació de la càrrega)

Aquest és el terme més intuïtiu i el resultat final de la igualtat:

$\rho$ (densitat de càrrega): És la quantitat de càrrega elèctrica que hi ha en un volum determinat.
${\frac {\partial \rho }{\partial t}}$ : És la velocitat a la qual la càrrega està canviant en aquell punt.
El signe negatiu ( $-$ ): És la clau. Ens diu que si el corrent surt d'un volum ( $\nabla \cdot \mathbf {J}$ és positiu), la quantitat de càrrega a l'interior ha de disminuir.

En resum, la igualtat connecta el moviment de les càrregues ( $\mathbf {J}$ ), la variació dels camps elèctrics ( $\mathbf {D}$ ) i la desaparició o acumulació de càrrega ( $\rho$ ):^[6]

$\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

Ens diu que la quantitat de corrent que surt d'un punt és exactament igual a la velocitat a la qual disminueix la càrrega en aquest punt. Si Kirchhoff hagués considerat només circuits puntuals (on la càrrega no s'acumula), aquesta igualtat seria zero, que és precisament la seva llei dels nusos.

Canvis de potencial a la malla central: $a\rightarrow b\quad -I_{1}R_{1}$ $b\rightarrow c\quad -I_{2}R_{2}$ $c\rightarrow d\quad -I_{3}R_{3}$ $d\rightarrow a\quad \quad {\mathcal {E}}_{4}$

Esta és simplement l'equació de la conservació de càrrega (en forma d'integral diu que el corrent que flueix cap a fora d'una superfície és igual a la velocitat de pèrdua de càrrega en l'interior d'un volum tancat). La llei del corrent de Kirchhoff és igual a l'afirmació que la divergència del corrent és zero, cert si ρ no varia amb el temps, o sempre cert si el desplaçament del corrent s'inclou en J.

Llei de les malles

La llei de les malles també s'anomena llei del voltatge de Kirchhoff o segona llei de Kirchhoff. El principi de conservació de l'energia implica que la suma algebraica (amb signe) de totes les diferències de potencials al voltant d'un circuit ha de ser zero. D'altra forma, seria possible construir una màquina de moviment perpetu on passés un corrent en cercle al voltant del circuit.^[5]

$\sum _{k=1}\Delta V_{k}=0$

on $\Delta V_{k}$ és la diferència de potencial entre els extrems de la $k$ -èsima branca de la malla. En un circuit amb $M$ malles, existeixen $M-1$ equacions independents, essent la $M$ -èsima una combinació lineal de les $M-1$ restants.^[1]

Generalització a camps no conservatius

Aquesta llei té una subtilesa en la seua interpretació, atès que en presència d'un camp magnètic $\mathbf {B}$ canviant el corrent elèctric no és conservatiu i, per tant, no pot definir un potencial escalar magnètic pur, la integral de línia del camp elèctric al voltant del circuit no és zero. De forma equivalent, l'energia és transferida del camp magnètic al corrent (o a l'inrevés). Per a "arreglar" la llei de les malles en aquest cas, s'associa una caiguda de potencial efectiva o força electromotriu (fem) a la inductància $L$ del circuit, exactament igual a la quantitat per la qual la integral de línia del camp elèctric no és zero per la llei d'inducció de Faraday.

En presència d'un camp magnètic variable $\mathbf {B}$ , el camp elèctric $\mathbf {E}$ deixa de ser conservatiu. Això significa que la seva integral de línia al voltant d'un camí tancat $C$ no és zero:

$\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} \neq 0$

Segons la llei de Faraday, el valor d'aquesta integral és igual a la taxa de canvi del flux magnètic $\Phi _{B}$ a través de la superfície limitada pel circuit:

$\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}$

S'associa una "caiguda de potencial efectiva" o fem ${\mathcal {E}}$ a la inductància $L$ del circuit per compensar aquest valor. Aquesta fem induïda es defineix com:

${\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}$

Si considerem una autoinductància $L$ , on el flux és proporcional a la intensitat $\Phi _{B}=LI$ , la fórmula esdevé:

${\mathcal {E}}=-L{\frac {dI}{dt}}$

La llei de les malles de Kirchhoff original diu que la suma de diferències de potencial en un circuit tancat és zero ${\textstyle \sum \Delta V=0}$ . En aquest cas "no conservatiu", la llei es reformula integrant la fem induïda com si fos una caiguda de tensió més:

$\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} +{\mathcal {E}}_{ext}=\sum R_{i}I_{i}$

O, de forma més comuna en l'anàlisi de circuits:

La figura utilitza una analogia hidràulica (aigua) per explicar com hem d'assignar el signe positiu (+) o negatiu (–) a la tensió quan "recorrem" un circuit. La fletxa daurada inferior indica el sentit del nostre recorregut (cap a on estem analitzant la malla).

$\sum \Delta V_{fonts}-L{\frac {dI}{dt}}=\sum R_{i}I_{i}$

D'aquesta manera, el terme $-L{\frac {dI}{dt}}$ actua com el "corrector" que permet que l'equació de l'energia del circuit torni a estar equilibrada, compensant el fet que el camp elèctric ja no és conservatiu.^[5]

Criteris de signes

En aplicar la segona llei de Kirchhoff a una malla cal agafar un sentit pel recorregut del circuit. Amb aquest sentit arbitrari s'han d'emprar els següents signes per a les fonts de tensió i per a les caigudes de tensió:^[7]

Exemple d'aplicació de la 2a llei de Kirchhoff a un circuit amb 3 malles.
* Malla superior: ⁣ ${\mathcal {E}}_{1}-I_{1}R_{1}-I_{2}R_{2}=0$
* Malla inferior: $-{\mathcal {E}}_{1}+I_{2}R_{2}-I_{3}R_{3}-{\mathcal {E}}_{2}=0$
* Malla exterior (combinació lineal de les altres, una suma) $-I_{1}R_{1}-I_{3}R_{3}-{\mathcal {E}}_{2}=0$

Criteris de signes de fonts de tensió (bateries)

En una bateria, el potencial elèctric es representa com l'altura de l'aigua a la figura adjunta.

(a) De positiu a negatiu $\mid \rightarrow \shortmid$ : Si hom recorre la font des del pol positiu al negatiu, hom està "baixant" un graó de potencial. En l'analogia, l'aigua cau d'un nivell alt a un de baix. Resultat: –U o $-{\mathcal {E}}$ (caiguda de tensió).
(b) De negatiu a positiu $\shortmid \rightarrow \mid$ : Si hom recorre la font des del pol negatiu al positiu, hom està "pujant" el potencial. L'analogia mostra una bomba que eleva l'aigua. Resultat: +U o $+{\mathcal {E}}$ (augment de tensió).^[7]^[8]

Criteris de signes de resistències

En una resistència, el corrent $I$ sempre flueix del potencial més alt al més baix (com l'aigua que baixa per un pendent a causa de la fricció). El signe depèn de si hom camina a favor o en contra del corrent:

(c) Recorregut en el mateix sentit que el corrent $I$ : Si hom avança en la mateixa direcció que el corrent, hom està baixant pel "pendent" de la resistència. Resultat: $-RI$ (caiguda de potencial segons la llei d'Ohm).
(d) Recorregut en sentit oposat al corrent $I$ : Si hom analitza el circuit en direcció contrària a com flueix el corrent, és com si hom intenta pujar pel pendent per on baixa l'aigua. El potencial al punt on hom va és més alt que el d'on ve. Resultat: $+RI$ (augment de potencial).^[7]^[8]

Vegeu també

Referències

1 2 3 4 UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA; TERMCAT, CENTRE DE TERMINOLOGIA; ENCICLOPÈDIA CATALANA. Diccionari de física [en línia]. 2a ed. Barcelona: TERMCAT, Centre de Terminologia, cop. 2019. (Diccionaris en Línia) (Ciència i Tecnologia) <https://www.termcat.cat/ca/diccionaris-en-linia/149>
↑ Studiosus Kirchhoff «Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige» (en alemany). Annalen der Physik, 140, 4, 1845, pàg. 497–514. DOI: 10.1002/andp.18451400402. ISSN: 1521-3889.
↑ Kirchhoff, G. «Ueber die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung der linearen Vertheilung galvanischer Ströme geführt wird» (en anglès). Annalen der Physik, 148, 12, 1847, pàg. 497–508. DOI: 10.1002/andp.18471481202. ISSN: 1521-3889.
↑ Maloberti, Franco; Davies, Anthony C. A Short History of Circuits and Systems (en anglès). CRC Press, 2022-09-01. ISBN 978-1-000-79121-1.
1 2 3 Tipler, Paul Allen; Mosca, Gene. Física per a la ciéncia i la tecnologia. Vol. 2: Electricitat i magnetisme, la llum, Física moderna. Reverte, 2020-01-10. ISBN 978-84-291-9371-8.
1 2 3 Sepúlveda Soto, Alonso. Electromagnetismo (en castellà). Universidad de Antioquia, 2021-02-12. ISBN 978-958-714-958-6.
1 2 3 Burbano de Ercilla, Santiago. Problemas de Fisica (en castellà). Editorial Tebar, 2004. ISBN 978-84-95447-27-2.
1 2 Fowler, Richard J. Electricidad principios y aplicaciones (en castellà). Reverte, 1994-12. ISBN 978-84-291-3028-7.

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Lleis de Kirchhoff

Les dues lleis Arxivat 2005-02-27 a Wayback Machine. (anglès)

[:0-1] 1 2 3 4 UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA; TERMCAT, CENTRE DE TERMINOLOGIA; ENCICLOPÈDIA CATALANA. Diccionari de física [en línia]. 2a ed. Barcelona: TERMCAT, Centre de Terminologia, cop. 2019. (Diccionaris en Línia) (Ciència i Tecnologia) <https://www.termcat.cat/ca/diccionaris-en-linia/149>

[2] Studiosus Kirchhoff «Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige» (en alemany). Annalen der Physik, 140, 4, 1845, pàg. 497–514. DOI: 10.1002/andp.18451400402. ISSN: 1521-3889.

[3] Kirchhoff, G. «Ueber die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung der linearen Vertheilung galvanischer Ströme geführt wird» (en anglès). Annalen der Physik, 148, 12, 1847, pàg. 497–508. DOI: 10.1002/andp.18471481202. ISSN: 1521-3889.

[4] Maloberti, Franco; Davies, Anthony C. A Short History of Circuits and Systems (en anglès). CRC Press, 2022-09-01. ISBN 978-1-000-79121-1.

[:1-5] 1 2 3 Tipler, Paul Allen; Mosca, Gene. Física per a la ciéncia i la tecnologia. Vol. 2: Electricitat i magnetisme, la llum, Física moderna. Reverte, 2020-01-10. ISBN 978-84-291-9371-8.

[:2-6] 1 2 3 Sepúlveda Soto, Alonso. Electromagnetismo (en castellà). Universidad de Antioquia, 2021-02-12. ISBN 978-958-714-958-6.

[:3-7] 1 2 3 Burbano de Ercilla, Santiago. Problemas de Fisica (en castellà). Editorial Tebar, 2004. ISBN 978-84-95447-27-2.

[:4-8] 1 2 Fowler, Richard J. Electricidad principios y aplicaciones (en castellà). Reverte, 1994-12. ISBN 978-84-291-3028-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]