Mínim comú múltiple

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El mínim comú múltiple (m.c.m.) de dos o més nombres enters és, a menys del signe, el menor nombre enter positiu que és múltiple de tots ells.

GeneralitatsModifica

Mètode 1Modifica

El mètode general per calcular el mínim comú múltiple de dos o més nombres consisteix a descompondre els nombres en factors primers i després prendre els factors comuns i no comuns amb el major exponent amb què apareguin i els factors no comuns també amb el seu major exponent. Multiplicant tots aquest factors trobem el m.c.m.

Per exemple, m.c.m.= minim comu multiple de 72 i 50:


    \begin{array}{r|l} 
        72 & 2 \\
        36 & 2 \\
        18 & 2 \\
         9 & 3 \\
         3 & 3 \\
         1 & 
    \end{array}

     72 = 2^3 \cdot 3^2 \,

    \begin{array}{r|l} 
       50 & 2 \\
       25 & 5 \\
        5 & 5 \\
        1 & 
    \end{array}

     50 = 2 \cdot 5^2 \,
m.c.m.(72, 50) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 1800

Mètode 2Modifica

També es pot calcular el mínim comú múltiple coneixent el màxim comú divisor dels nombres, que serà el producte d'ambdós dividit entre el seu màxim comú divisor. Per tant la fórmula es la següent:

m.c.m.(a, b) = \frac {a \cdot b}{m.c.d.(a, b)}

Exemple:

m.c.m.(72, 50) = \frac {72 \cdot 50}{m.c.d.(72, 50)} = \frac {3600}{2} = 1800

PropietatsModifica

Les propietats del m.c.m. són, en certa forma, duals de les del màxim comú divisor:

  • Qualsevol múltiple comú a a i b és un múltiple de m.c.m.(a,b).
  • m.c.m.(a, b) = m.c.m.(|a|, |b|).
  • m.c.m.(a, b) = m.c.m.(b, a).
  • m.c.m.(a, 0) = 0.
  • m.c.m.(a, a) = a.
  • m.c.m.(a, m.c.m.(b, c)) = m.c.m.(m.c.m.(a, b), c), cosa que permet calcular el m.c.m. de tres o més nombres.
  • El mínim comú múltiple de dos nombres i el màxim comú divisor estan lligats per la relació: m.c.d.(a, b)·mcm(a, b) = |ab|.
  • Si a i b són coprimers, aleshores m.c.m.(a, b) = |ab|

UsosModifica

El m.c.m. s'empra per a sumar fraccions de distint denominador, per exemple,

\frac {1}{6}+\frac {1}{33}=\frac {11}{66} + \frac {2}{66} = \frac {13}{66}

El m.c.m. als anells principalsModifica

Si A és un anell principal i I i J en són ideals, la ideal intersecció dels ideals I i J és l'ideal mínim comú múltiple dels ideals I i J. i també serveix per a restes.

Vegeu tambéModifica