Mínim comú múltiple

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

El mínim comú múltiple (m.c.m.) de dos o més nombres enters positius és el menor nombre enter positiu que és múltiple de tots ells.[1] Per exemple, si tenim el 72 i el 50 considerem els múltiples enters positius de cadascun:

múltiples de 72: 72,144, 216,288,...,432,504,.....1800,......

múltiples del 50: 50,100, 150,.....,1750,1800,......

S'observa que el menor nombre enter el positiu que és múltiple dels dos és el 1800.

Tot seguit es mostren dos mètodes per al seu càlcul:

Mètode 1[modifica]

El mètode general per calcular el mínim comú múltiple de dos o més nombres consisteix a descompondre els nombres en factors primers i després prendre els factors comuns i no comuns amb el major exponent amb què apareguin i els factors no comuns també amb el seu major exponent. Multiplicant tots aquest factors trobem el m.c.m.

Per exemple, m.c.m.= mínim comú múltiple de 72 i 50:

Mètode 2[modifica]

També es pot calcular el mínim comú múltiple coneixent el màxim comú divisor dels nombres. Usem aquesta propietat:

El producte de dos nombres és igual al producte del seu m.c.m. pel seu m.c.d. .

Per tant, aïllem el mínim comú múltiple de la fórmula anterior i tenim:

El mínim comú múltiple de dos nombres és el producte dels dos nombres dividit entre el seu màxim comú divisor.

Exemple:

Propietats[modifica]

Les propietats del m.c.m. són, en certa forma, duals de les del màxim comú divisor:

  • El m.c.m. de diversos nombres és necessàriament més gran o igual que el més gran d'aquests.
  • Si un nombre és múltiple d'un altre, el més gran és el m.c.m.
  • El m.c.m. de dos nombres primers entre si és el resultat de multiplicar aquests nombres.
  • Els múltiples comuns de dos o més nombres són múltiples del m.c.m. d'aquests nombres.
  • El m.c.d. multiplicat pel m.c.m. de dos nombres dona com a resultat el producte dels dos nombres.[2]

  • Qualsevol múltiple comú a a i b és un múltiple de m.c.m.(a,b).
  • m.c.m.(a, b) = m.c.m.(|a|, |b|).
  • m.c.m.(a, b) = m.c.m.(b, a).
  • m.c.m.(a, 0) = 0.
  • m.c.m.(a, a) = a.
  • m.c.m.(a, m.c.m.(b, c)) = m.c.m.(m.c.m.(a, b), c), cosa que permet calcular el m.c.m de tres o més nombres.
  • Si a i b són coprimers, aleshores m.c.m.(a, b) = |ab|

Usos[modifica]

El m.c.m. s'empra per a sumar fraccions de distint denominador; només cal unificar cada fracció a un únic denominador, essent aquest denominador el m.c.m.; per exemple,

El m.c.m. als anells principals[modifica]

Si A és un anell principal i I i J en són ideals, la ideal intersecció dels ideals I i J és l'ideal mínim comú múltiple dels ideals I i J. i també serveix per a restes.

Vegeu també[modifica]

Referències[modifica]

  1. Corbalán Yuste, F. et al.. Gamma 2 : matemàtiques : Educació Secundària, segon curs. 1a.. Barcelona: Vicens Vives, 2003, p. 12. ISBN 84-316-6978-2. 
  2. Corbalán Yuste, 2003, p. 13.

Bibliografia[modifica]

- Diccionari de Matemàtiques i Estadística. 2002. Ciència i Tecnologia. Enciclopèdia Catalana. Universitat Politècnica de Catalunya.