Matriu de decalatge

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una matriu de decalatge és una matriu booleana amb entrades iguals a 1 només a la superdiagonal o a la subdiagonal, i zeros altrament. Una matriu de decalatge U amb valors 1 a la superdiagonal s'anomena matriu de decalatge superior (la notació U prové de l'anglès upper, superior). Anàlogament, una matriu de decalatge L amb valors 1 a la subdiagonal s'anomena matriu de decalatge inferior (la notació L prové de l'anglès lower, inferior). L'entrada (i,j)-sima de U i L es defineix per

on és el símbol delta de Kronecker.

Per exemple, les matrius de decalatge 5×5 són

Òbviament, la transposada d'una matriu de decalatge inferior és una matriu de decalatge superior i viceversa.

Si multipliquem per l'esquerra una matriu A per una matriu de decalatge inferior (resp. superior), obtenim una altra matriu on els elements de A s'han desplaçat una posició cap avall (resp. cap amunt), i amb zeros a la primera (resp. última) fila. Anàlogament, si multipliquem per la dreta per una matriu de decalatge inferior (resp. superior), veurem que els elements es desplacen una posició cap a l'esquerra (resp. dreta).

Hom pot veure fàcilment que qualsevol matriu de decalatge és nilpotent; una matriu de decalatge S de mida n per n esdevé la matriu zero quan s'eleva a l'n-sima potència.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Siguin L i U les matrius de decalatge inferior i superior de mida n per n, respectivament. Llavors hom pot observar-ne les següents propietats:

(anàlogament per L)

Les següents propietats mostren la relació entre U i L:

  • LT = U; UT = L
  • Els nuclis de U i L són
  • L'espectre de U i L és . La multiplicitat algebraica de 0 és n, i la seva multiplicitat geomètrica és 1. A partir de les expressions dels nuclis, és una conseqüència que l'únic vector propi (llevat d'homotècia) de U és , i l'únic vector propi de L és .
  • Per LU i UL tenim
Aquestes dues matrius són idempotents, simètriques, i tenen el mateix rang que U i L.
  • Ln-aUn-a + LaUa = Un-aLn-a + UaLa = I (la matriu identitat), per qualsevol enter a entre 0 and n (ambdós inclosos).

Exemples[modifica | modifica el codi]

Llavors

Existeixen moltes permutacions possibles. Per exemple, és igual a la matriu A desplaçada cap amunt i cap a l'esquerra al llarg de la diagonal principal.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

Vegeu també[modifica | modifica el codi]