Matriu nilpotent

En àlgebra lineal, una matriu nilpotent és una matriu quadrada N tal que

$N^{k}=0\,$

per algun enter positiu k. Hom anomena grau de N el valor k més petit que compleix aquesta propietat.

Més generalment, una transformació nilpotent és una aplicació lineal L d'un espai vectorial tal que L^k = 0 per algun enter positiu k (i, per tant, L^j = 0 per qualsevol j ≥ k). Aquests dos conceptes són casos particulars d'un concepte més general de nilpotència vàlid pels elements d'un anell.

Exemples

La matriu

$M={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$

és nilpotent, ja que M² = 0. Més generalment, qualsevol matriu triangular amb zeros a la diagonal principal és nilpotent. Per exemple, la matriu

$N={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

és nilpotent, amb

$N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.$

Encara que els exemples que hem vist tenen un gran nombre d'entrades nul·les, en general no té per què ser així. Per exemple, les matrius

${\begin{bmatrix}6&-9\\4&-6\end{bmatrix}}\qquad {\text{i}}\qquad {\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}$

si s'eleven al quadrat obtenim la matriu nul·la, tot i que cap d'elles té cap entrada nul·la.

Caracterització

Per qualsevol matriu quadrada N de dimensió n × n a entrades reals (o complexos), les següents afirmacions són equivalents:

1. N és nilpotent.
2. El polinomi mínim de N és λ^k per algun enter positiu k ≤ n.
3. El polinomi característic de N és λⁿ.
4. L'únic valor propi (complex) de N és 0.
5. tr (N^k) = 0 per qualsevol k > 0.

L'últim teorema és cert per matrius sobre qualsevol cos de característica 0 o de característica suficientment gran. (cf. Identitats de Newton)

Aquest teorema té diverses conseqüències, entre d'altres:

• El grau d'una matriu nilpotent de dimensió n × n és sempre menor o igual a n. Per exemple, qualsevol matriu nilpotent 2 × 2 multiplicada per ella mateixa dona la matriu nul·la.
• El determinant i la traça d'una matriu nilpotent són sempre zero.
• L'única matriu nilpotent diagonalitzable és la matriu nul·la.

Classificació

Considerem la matriu de decalatge n × n:

$S={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.$

Aquesta matriu té uns a la diagonal superior i zeros altrament. Com a aplicació lineal, la matriu de decalatge "mou" els components d'un vector un lloc cap a l'esquerra:

$S(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(x_{2},\ldots ,x_{n},0).$

Aquesta matriu és nilpotent amb grau n, i és la matriu nilpotent "canònica".

Si N és una matriu nilpotent qualsevol, aleshores N és semblant a una matriu diagonal per blocs de la forma

${\begin{bmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{bmatrix}}$

on cadascun dels blocs S₁, S₂, ..., S_r és una matriu de decalatge (eventualment de dimensions diferents). Aquest teorema és un cas especial de la forma canònica de Jordan per matrius.

Per exemple, qualsevol matriu nilpotent 2 × 2 no-nul·la és semblant a la matriu

${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.$

És a dir, si N és una matriu nilpotent 2 × 2 no-nul·la, aleshores existeix una base b₁, b₂ tal que Nb₁ = 0 i Nb₂ = b₁.

Aquest teorema de classificació és vàlid per matrius sobre qualsevol cos. (No és necessari que el cos sigui algebraicament tancat.)

Torre de subespais

Una transformació nilpotent L sobre ℝⁿ determina de manera natural una torre de subespais

$\{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=\mathbb {R} ^{n}$

i una signatura

$0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker L^{i}.$

La signatura caracteritza L llevat d'una aplicació lineal invertible. Addicionalment, satisfà les desigualtats

$n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1},\qquad {\mbox{per tot }}j=1,\ldots ,q-1.$

Recíprocament, qualsevol seqüència de nombres naturals que satisfan aquestes desigualtats és la signatura d'una transformació nilpotent.

Propietats addicionals

• Si N és nilpotent, aleshores I + N és invertible, on I és la matriu identitat de dimensió n × n. La inversa es calcula observant que

$(I+N)^{-1}=I-N+N^{2}-N^{3}+\cdots ,$

on només un nombre finit de termes són no-nuls.

• Si N és nilpotent, llavors

$\det(I+N)=1,\!\,$

on I denota la matriu identitat de dimensió n × n. Recíprocament, si A és una matriu i

$\det(I+tA)=1\!\,$

per tots els valors de t, llavors A és nilpotent.

• Qualsevol matriu singular pot ser escrita com a producte de matrius nilpotents.

Generalitzations

Un operador lineal T és localment nilpotent si, per tot vector v, existeix un k tal que

$T^{k}(v)=0.\!\,$

Per operadors en un espai vectorial de dimensió finita, la nilpotència local és equivalent a la nilpotència.

Enllaços externs

• Matriu nilpotent Arxivat 2008-08-29 a Wayback Machine. i transformació nilpotent a PlanetMath.