Matriu triangular

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Una matriu A de n×m elements:


A = (a_{i,j}) =
\begin{pmatrix}
 a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots& a_{1,m}\\
 a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots& a_{2,m}\\
 a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots& a_{3,m}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\
a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots& a_{n,m}\\
\end{pmatrix} \in \mathcal M_{n\times m}

és triangular superior, quan és una matriu quadrada (n=m) i a_{i,j} = 0 per a tot i>j i i,j\in \{1,2,3,\dots,n\}. És a dir, té la forma


A = 
\begin{pmatrix}
 a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots& a_{1,n-1}&a_{1,n}\\
 0 & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots& a_{2,n-1}& a_{2,n}\\
 0 & 0 & a_{3,3} & \cdots& a_{3,n-1}& a_{3,n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots&\vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots& a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\\
0 & 0 & 0 & \cdots& 0&a_{n,n}\\
\end{pmatrix}

En cas contrari, si és quadrada però a_{i,j} = 0 per a tot i<j i i,j\in \{1,2,3,\dots,n\}, aleshores A és una matriu triangular inferior que té la forma:


A = 
\begin{pmatrix}
 a_{1,1} & 0 & 0 & \cdots& 0&0\\
 a_{2,1} & a_{2,2} & 0 & \cdots& 0& 0\\
 a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots& 0& 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots& \vdots&\vdots\\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & \cdots& a_{n-1,n-1}&0\\
a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots& a_{n,n-1}&a_{n,n}\\
\end{pmatrix}


Per exemple, amb n = 3, la següent matriu és triangular superior:

\begin{pmatrix}
1 & 4 & 2 \\
0 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}

i la següent és triangular inferior:

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 8 & 0 \\
4 & 9 & 7 \\
\end{pmatrix}

Se solen fer servir les lletres U i L, respectivament, ja que U és la inicial de "upper triangular matrix" i L de "lower triangular matrix", els noms que reben aquestes matrius en anglès.

En general, es poden realitzar les operacions en aquestes matrius en la meitat de temps.