Matriu triangular

Una matriu A de n×m elements:

$A=(a_{i,j})={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\cdots &a_{1,m}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots &a_{2,m}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&\cdots &a_{3,m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&\cdots &a_{n,m}\\\end{pmatrix}}\in {\mathcal {M}}_{n\times m}$

és triangular superior, quan és una matriu quadrada (n=m) i $a_{i,j}=0$ per a tot i>j i $i,j\in \{1,2,3,\dots ,n\}$. És a dir, té la forma

$A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\cdots &a_{1,n-1}&a_{1,n}\\0&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots &a_{2,n-1}&a_{2,n}\\0&0&a_{3,3}&\cdots &a_{3,n-1}&a_{3,n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &a_{n-1,n-1}&a_{n-1,n}\\0&0&0&\cdots &0&a_{n,n}\\\end{pmatrix}}$

En cas contrari, si és quadrada però $a_{i,j}=0$ per a tot i<j i $i,j\in \{1,2,3,\dots ,n\}$, aleshores A és una matriu triangular inferior que té la forma:

$A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&0&0&\cdots &0&0\\a_{2,1}&a_{2,2}&0&\cdots &0&0\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&a_{n-1,3}&\cdots &a_{n-1,n-1}&0\\a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&\cdots &a_{n,n-1}&a_{n,n}\\\end{pmatrix}}$

Per exemple, amb n = 3, la següent matriu és triangular superior:

${\begin{pmatrix}1&4&2\\0&3&4\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$

i la següent és triangular inferior:

${\begin{pmatrix}1&0&0\\2&8&0\\4&9&7\\\end{pmatrix}}$

Se solen fer servir les lletres U i L, respectivament, ja que U és la inicial de "upper triangular matrix" i L de "lower triangular matrix", els noms que reben aquestes matrius en anglès.

En general, es poden realitzar les operacions en aquestes matrius en la meitat de temps.

Propietats de les matrius triangulars

• Una matriu triangular superior e inferior sempre diagonalitza en una base de vectors propis.
• El producte de dues matrius triangulars superiors (inferiors) és una matriu triangular superior (inferior).
• La transposada d'una matriu triangular superior és una matriu triangular inferior i viceversa.
• El determinant d'una matriu quadrada triangular és el producte dels elements de la diagonal.
• Una matriu triangular és invertible si i només si tots els elements de la diagonal són diferents de zero. En aquest cas, la matriu inversa d'una matriu triangular superior (inferior) és una matriu triangular superior (inferior).
• Els valors propis d'una matriu triangular són els elements de la diagonal principal.

Vegeu també

• Matriu simètrica
• Matriu antisimètrica