Nombre de Fermat

Un nombre de Fermat, anomenat així en honor de Pierre de Fermat, qui fou el primer a estudiar aquest nombres, és un nombre natural de la forma:

F_{n}=2^{2^{n}}+1

on n és natural. Els nombres primers de Fermat són nombres de Fermat que a la vegada són primers.

Pierre de Fermat va conjecturar que tots els nombres naturals de la forma

F_{n}=2^{2^{n}}+1

amb n natural eren nombres primers (els cinc primers termes, 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) i 65537 (n=4) ho són), però l'any 1732, Leonhard Euler va provar que no era així. En efecte, si fem n=5 s'obté un nombre compost:

F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417\;

4294967297 és el nombre més petit que, sent un nombre de Fermat, no és primer.

Els nou primers nombres de Fermat són (successió A000215 a l'OEIS):

F₀	=	2¹	+	1	=	3
F₁	=	2²	+	1	=	5
F₂	=	2⁴	+	1	=	17
F₃	=	2⁸	+	1	=	257
F₄	=	2¹⁶	+	1	=	65,537
F₅	=	2³²	+	1	=	4,294,967,297
					=	641 × 6,700,417
F₆	=	2⁶⁴	+	1	=	18,446,744,073,709,551,617
					=	274,177 × 67,280,421,310,721
F₇	=	2¹²⁸	+	1	=	340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457
					=	59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721
F₈	=	2²⁵⁶	+	1	=	115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937
					=	1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321

Bibliografia[modifica]

17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer, Springer, CMS Books 9, ISBN 0-387-95332-9 (This book contains an extensive list of references.)
S. W. Golomb, On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities, Canad. J. Math. 15(1963), 475–478.
Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; sections A3, A12, B21.
Florian Luca, The anti-social Fermat number, Amer. Math. Monthly 107(2000), 171–173.
Michal Křížek, Florian Luca and Lawrence Somer(2002), On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers, J. Number Theory 97(2002), 95–112.
A. Grytczuk, F. Luca and M. Wojtowicz(2001), Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers, Southeast Asian Bull. Math. 25(2001), 111–115.

Enllaços externs[modifica]

Generalized Fermat Prime search
http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Fermats
http://www.prothsearch.net/fermat.html Arxivat 2016-02-10 a Wayback Machine. (Factorització dels nombres de Fermat)
Sequence of Fermat numbers at OEIS.
Chris Caldwell, The Prime Glossary: Fermat number at The Prime Pages.
Luigi Morelli, History of Fermat Numbers
John Cosgrave, Unification of Mersenne and Fermat Numbers Arxivat 2006-10-02 a Wayback Machine.
Wilfrid Keller, Prime Factors of Fermat Numbers Arxivat 2016-02-10 a Wayback Machine.
Weisstein, Eric W., «Fermat Number» a MathWorld (en anglès).
Yves Gallot, Generalized Fermat Prime Search
Mark S. Manasse, Complete factorization of the ninth Fermat number (original announcement)

Vegeu també[modifica]