Nombre de Fermat

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Un nombre de Fermat, anomenat així en honor a Pierre de Fermat, qui fou el primer a estudiar aquest nombres, és un nombre natural de la forma:

 F_{n} = 2^{2^n} + 1

on n és natural. Els nombres primers de Fermat són nombres de Fermat que a la vegada són primers.

Pierre de Fermat va conjecturar que tots els nombres naturals de la forma

 F_{n} = 2^{2^n} + 1

amb n natural eren nombres primers (els cinc primers termes, 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) i 65537 (n=4) ho són), però al 1732, Leonhard Euler va provar que no era així. En efecte, si fem n=5 s'obté un nombre compost:

 F_{5} = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4 294 967 297 = 641 \cdot 6 700 417 \;
4294967297 és el nombre més petit que, sent un nombre de Fermat, no és primer.

Els nous primers nombres de Fermat són (successió A000215 a l'OEIS):

F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65,537
F5 = 232 + 1 = 4,294,967,297
= 641 × 6,700,417
F6 = 264 + 1 = 18,446,744,073,709,551,617
= 274,177 × 67,280,421,310,721
F7 = 2128 + 1 = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457
= 59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721
F8 = 2256 + 1 = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937
= 1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321

Notes[modifica | modifica el codi]

  • 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer, Springer, CMS Books 9, ISBN 0-387-95332-9 (This book contains an extensive list of references.)
  • S. W. Golomb, On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities, Canad. J. Math. 15(1963), 475–478.
  • Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; sections A3, A12, B21.
  • Florian Luca, The anti-social Fermat number, Amer. Math. Monthly 107(2000), 171–173.
  • Michal Křížek, Florian Luca and Lawrence Somer(2002), On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers, J. Number Theory 97(2002), 95–112.
  • A. Grytczuk, F. Luca and M. Wojtowicz(2001), Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers, Southeast Asian Bull. Math. 25(2001), 111–115.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

Vegeu també[modifica | modifica el codi]