Nombre de Fermat

Un nombre de Fermat, anomenat així en honor a Pierre de Fermat, qui fou el primer a estudiar aquest nombres, és un nombre natural de la forma:

$F_{n}=2^{2^{n}}+1$$F_{n}=2^{2^{n}}+1$

on n és natural. Els nombres primers de Fermat són nombres de Fermat que a la vegada són primers.

Pierre de Fermat va conjecturar que tots els nombres naturals de la forma

$F_{n}=2^{2^{n}}+1$$F_{n}=2^{2^{n}}+1$

amb n natural eren nombres primers (els cinc primers termes, 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) i 65537 (n=4) ho són), però el 1732, Leonhard Euler va provar que no era així. En efecte, si fem n=5 s'obté un nombre compost:

$F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417\;$$F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417\;$

4294967297 és el nombre més petit que, sent un nombre de Fermat, no és primer.

Els nous primers nombres de Fermat són (successió A000215 a l'OEIS):

F0	=	21	+	1	=	3
F1	=	22	+	1	=	5
F2	=	24	+	1	=	17
F3	=	28	+	1	=	257
F4	=	216	+	1	=	65,537
F5	=	232	+	1	=	4,294,967,297
					=	641 × 6,700,417
F6	=	264	+	1	=	18,446,744,073,709,551,617
					=	274,177 × 67,280,421,310,721
F7	=	2128	+	1	=	340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457
					=	59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721
F8	=	2256	+	1	=	115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937
					=	1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321

Notes

• 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer, Springer, CMS Books 9, ISBN 0-387-95332-9 (This book contains an extensive list of references.)
• S. W. Golomb, On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities, Canad. J. Math. 15(1963), 475–478.
• Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; sections A3, A12, B21.
• Florian Luca, The anti-social Fermat number, Amer. Math. Monthly 107(2000), 171–173.
• Michal Křížek, Florian Luca and Lawrence Somer(2002), On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers, J. Number Theory 97(2002), 95–112.
• A. Grytczuk, F. Luca and M. Wojtowicz(2001), Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers, Southeast Asian Bull. Math. 25(2001), 111–115.

Enllaços externs

• Generalized Fermat Prime search
• http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Fermats
• http://www.prothsearch.net/fermat.html (Factorització dels nombres de Fermat)
• Sequence of Fermat numbers at OEIS.
• Chris Caldwell, The Prime Glossary: Fermat number at The Prime Pages.
• Luigi Morelli, History of Fermat Numbers
• John Cosgrave, Unification of Mersenne and Fermat Numbers
• Wilfrid Keller, Prime Factors of Fermat Numbers
• Weisstein, Eric W., «Fermat Number» a MathWorld (en anglès).
• Yves Gallot, Generalized Fermat Prime Search
• Mark S. Manasse, Complete factorization of the ninth Fermat number (original announcement)

Vegeu també

• Nombre primer de Mersenne
• Nombre primer de Gauss
• Pierre de Fermat
• Construcció amb regla i compàs
• Quadratura del cercle
• Duplicació del cub
• Trisecció de l'angle
• Nombre construïble
• Polígon construïble