Nombre de Fermat
 |
Aquest article és manifestament incomplet. Ajudeu a desenvolupar-lo de forma que l'exposició de conceptes o idees sigui coherent, o com a mínim sigui un esborrany amb una estructuració acceptable. |
Un nombre de Fermat, anomenat així en honor a Pierre de Fermat, qui fou el primer a estudiar aquest nombres, és un nombre natural de la forma:
on n és natural. Els nombres primers de Fermat són nombres de Fermat que a la vegada són primers.
Pierre de Fermat va conjecturar que tots els nombres naturals de la forma
amb n natural eren nombres primers (els cinc primers termes, 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) i 65537 (n=4) ho són), però el 1732, Leonhard Euler va provar que no era així. En efecte, si fem n=5 s'obté un nombre compost:
- 4294967297 és el nombre més petit que, sent un nombre de Fermat, no és primer.
Els nous primers nombres de Fermat són (successió A000215 a l'OEIS):
| F0 | = | 21 | + | 1 | = | 3 | |
| F1 | = | 22 | + | 1 | = | 5 | |
| F2 | = | 24 | + | 1 | = | 17 | |
| F3 | = | 28 | + | 1 | = | 257 | |
| F4 | = | 216 | + | 1 | = | 65,537 | |
| F5 | = | 232 | + | 1 | = | 4,294,967,297 | |
| = | 641 × 6,700,417 | ||||||
| F6 | = | 264 | + | 1 | = | 18,446,744,073,709,551,617 | |
| = | 274,177 × 67,280,421,310,721 | ||||||
| F7 | = | 2128 | + | 1 | = | 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457 | |
| = | 59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721 | ||||||
| F8 | = | 2256 | + | 1 | = | 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937 | |
| = | 1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321 |
Notes[modifica | modifica el codi]
 |
Caldria contextualitzar les obres citades al cos de l'article. Aquest article té una llista de referències o de bibliografia, però no se sap quina verifica cada part. Podeu millorar aquest article assignant cadascuna d'aquestes obres a frases o paràgrafs concrets. |
- 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer, Springer, CMS Books 9, ISBN 0-387-95332-9 (This book contains an extensive list of references.)
- S. W. Golomb, On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities, Canad. J. Math. 15(1963), 475–478.
- Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; sections A3, A12, B21.
- Florian Luca, The anti-social Fermat number, Amer. Math. Monthly 107(2000), 171–173.
- Michal Křížek, Florian Luca and Lawrence Somer(2002), On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers, J. Number Theory 97(2002), 95–112.
- A. Grytczuk, F. Luca and M. Wojtowicz(2001), Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers, Southeast Asian Bull. Math. 25(2001), 111–115.
Enllaços externs[modifica | modifica el codi]
- Generalized Fermat Prime search
- http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Fermats
- http://www.prothsearch.net/fermat.html (Factorització dels nombres de Fermat)
- Sequence of Fermat numbers at OEIS.
- Chris Caldwell, The Prime Glossary: Fermat number at The Prime Pages.
- Luigi Morelli, History of Fermat Numbers
- John Cosgrave, Unification of Mersenne and Fermat Numbers
- Wilfrid Keller, Prime Factors of Fermat Numbers
- Weisstein, Eric W., «Fermat Number» a MathWorld (en anglès).
- Yves Gallot, Generalized Fermat Prime Search
- Mark S. Manasse, Complete factorization of the ninth Fermat number (original announcement)
