Nombre poligonal

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca

En matemàtiques, un nombre poligonal és un nombre representat com a punts o còdols arranjats en forma d'un polígon regular. Els punts en consideren alfes (unitats). Són un tipus de nombres figurats bidimensionals.

Definició i exemples[modifica | modifica el codi]

El nombre 10, per exemple, pot ser arranjat com a triangle (vegeu Nombre triangular):

GrayDotX.svg

GrayDotX.svgGrayDotX.svg
GrayDotX.svgGrayDotX.svgGrayDotX.svg
GrayDotX.svgGrayDotX.svgGrayDotX.svgGrayDotX.svg

Però 10 no pot ser arranjat com a quadrat. El nombre 9, d'altra banda, sí que pot ser-ho (vegeu quadrat perfecte):

GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg

GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg

Alguns nombres, com el 36, poden ser arranjats alhora com a quadrat i com a triangle (veu nombre triangular quadrat):

******
******
******
******
******
******
*
**
***
****
*****
******
*******
********

Per convenció, 1 és el primer nombre poligonal per qualsevol nombre de costats. La regla per ampliar el polígon a la mida següent és estendre dues branques adjacents en un punt assenyalen i llavors afegir els costats extres que calguin entre aquells punts. En els esquemes següents, cada capa extra és mostrada en vermell.

Nombres triangulars[modifica | modifica el codi]

Polygonal Number 3.gif

Nombres quadrats[modifica | modifica el codi]

Polygonal Number 4.gif

Polígons amb nombres més alts de costats, com pentàgons i hexàgons, també poden ser construïts segons aquesta regla, tot i que els punts ja no formaran a un enreixat perfectament regular li agrada damunt.

Nombres pentagonals[modifica | modifica el codi]

Polygonal Number 5.gif

Nombres hexagonals[modifica | modifica el codi]

Polygonal Number 6.gif

Fórmula[modifica | modifica el codi]

Si s és el nombre de costats en un polígon, la fórmula pel nè nombre s-gonal P(s,n) és

O

El nombre s-gonal nè és també relacionat amb els nombres triangulars Tn de la manera següent:

Per tant:

Per a un nombre s-gonal donat P(s,n) = x, es pot trobar n per

Cada nombre hexagonal és també un nombre triangular[modifica | modifica el codi]

Aplicant la fórmula anterior:

Al cas de 6 costats dóna:

Però com que:

segueix que:

Això mostra que el nombre hexagonal , és el nombre triangular, Podem trobar cada nombre hexagonal simplement agafant els nombres triangulars imparells:

1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...

Taula de valors[modifica | modifica el codi]

Els primers 6 valors en la columna de "Suma de Recíproques", per als nombres triangulars a octagonals, vénen d'una solució publicada per al problema general, que també dóna una fórmula general per qualsevol nombre de costats, en termes de la funció digamma.[1]

s Nom Fórmula n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 n = 9 n = 10 Suma de Recíproques[1][2] Número OEIS
3 Triangular ½(n²+n) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 [1] oeis:A000217
4 Quadrat n² = ½(2n² - 0n) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 [1] oeis:A000290
5 Pentagonal ½(3n² - n) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 [1] oeis:A000326
6 Hexagonal ½(4n² - 2n) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 [1] oeis:A000384
7 Heptagonal ½(5n² - 3n) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 [1] oeis:A000566
8 Octagonal ½(6n² - 4n) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 [1] oeis:A000567
9 Nonagonal ½(7n² - 5n) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 oeis:A001106
10 Decagonal ½(8n² - 6n) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 oeis:A001107
11 Hendecagonal ½(9n² - 7n) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 oeis:A051682
12 Dodecagonal ½(10n² - 8n) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 oeis:A051624
13 Tridecagonal ½(11n² - 9n) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 oeis:A051865
14 Tetradecagonal ½(12n² - 10n) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 oeis:A051866
15 Pentadecagonal ½(13n² - 11n) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 oeis:A051867
16 Hexadecagonal ½(14n² - 12n) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 oeis:A051868
17 Heptadecagonal ½(15n² - 13n) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 oeis:A051869
18 Octadecagonal ½(16n² - 14n) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 oeis:A051870
19 Enneadecagonal ½(17n² - 15n) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 oeis:A051871
20 Icosagonal ½(18n² - 16n) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 oeis:A051872
21 Icosihenagonal ½(19n² - 17n) 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 oeis:A051873
22 Icosidigonal ½(20n² - 18n) 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 oeis:A051874
23 Icositrigonal ½(21n² - 19n) 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 oeis:A051875
24 Icositetragonal ½(22n² - 20n) 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 oeis:A051876
25 Icosipentagonal ½(23n² - 21n) 1 25 72 142 235 351 490 652 837 1045 oeis:A255184
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
10000 Miriagonal ½(9998n² - 9996n) 1 10000 29997 59992 99985 149976 209965 279952 359937 449920 oeis:A167149

La On-Line Encyclopedia of Integer Sequences evita els termes que utilitzen prefixos grecs (p. ex., "octagonal") a favor dels termes que utilitzen nombres (i.e., "8-gonal").

Una propietat d'aquesta taula pot ser expressada per la identitat següent (vegeu Un086270):

Amb

Combinacions[modifica | modifica el codi]

Alguns nombres, com el 36, que és alhora quadrat i triangular, cauen en dos conjunts poligonals. El problema de determinar, donat dos conjunts d'aquests, tots els nombres que pertanyen a tots dos conjunts es pot solucionar reduint el problema a l'equació de Pell. L'exemple més senzill d'això és la seqüència de nombres triangulars quadrats.

La taula següent resumeix el conjunt de nombres s-gonals t-gonals per a valors petits de s i t.

s t Seqüencia Nombre OEIS
4 3 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625, 98286503002057414584576, 3338847817559778254844961, ... oeis:A001110
5 3 1, 210, 40755, 7906276, … oeis:A014979
5 4 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, ... oeis:A036353
6 3 Tots els nombres hexagonals també són triangulars. oeis:A000384
6 4 Nombres triangulars quadrats imparells. oeis:A046177
6 5 1, 40755, 1533776805, … oeis:A046180
7 3 1, 55, 121771, 5720653, … oeis:A046194
7 4 1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025, 729252434211108535809, 53306479301521270428241, 20744638830126197732344369, 1516379800105728357531817761, 110843467413344235941816109721, 43135613687078894324987720634481, 3153102533906718276539864534846601, … oeis:A036354
7 5 1, 4347, 16701685, 64167869935, … oeis:A048900
7 6 1, 121771, 12625478965, … oeis:A048903
8 3 1, 21, 11781, 203841, … oeis:A046183
8 4 1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321, … oeis:A036428
8 5 1, 176, 1575425, 234631320, … oeis:A046189
8 6 1, 11781, 113123361, … oeis:A046192
8 7 1, 297045, 69010153345, … oeis:A048906
9 3 1, 325, 82621, 20985481, … oeis:A048909
9 4 1, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, 4835857349623374369, 571178264921393749929, 4342594514813297471521, 512917445842648529510881, 3899645038444991506051689, 460599295188433458107021409, 3501876901929087559136945401, 413617654161767402731575714601, … oeis:A036411
9 5 1, 651, 180868051, … oeis:A048915
9 6 1, 325, 5330229625, … oeis:A048918
9 7 1, 26884, 542041975, … oeis:A048921
9 8 1, 631125, 286703855361, … oeis:A048924
10 3 1, 10, 1540, 1777555, 13773376, 2051297326, 15894464365, 2367195337045, 18342198104230, ...
10 4 1 i cap més.
11 4 1, 196, 29241, 1755625, 261468900, 38941102225, 2337990844401, 348201795147556, 51858411008887561, 3113535139359330841, ...
12 4 1, 64, 3025, 142129, 6677056, 313679521, 14736260449, 692290561600, 32522920134769, 1527884955772561, 71778070001175616, 3372041405099481409, 158414167969674450625, 7442093853169599697984, 349619996931001511354641, 16424697761903901433970161, 771611174812552365885242944, 36249300518428057295172448225, 1702945513191306140507219823649, 80002189819472960546544159263296, 3758399976002037839547068265551281, 176564796682276305498165664321646929, 8294787044090984320574239154851854400, 389678426275593986761491074613715509889, 18306591247908826393469506267689777110401, 860020110225439246506305303506805808678976, 40402638589347735759402879758552183230801489, 1898063993589118141445429043348445806038991025, 89168605060099204912175762157618400700601776704, ...
13 4 1, 36, 35721, 34999056, 896703025, 34291262041, 878568782400, 860801272542225, ...
14 4 1, 441, 14161, 4239481, 135978921, 40707501121, 1305669590281, 390873421529361, 12537039269904241, 3753166552817428201, ...
15 4 1, 3025, 5997601, 165148201, ...
16 4 1, 16, 400, 4225, 101761, ...
18 4 1, 100, 1936, 116281, 2235025, 134189056, 2579217796, 154854055225, 2976415102441, 178701445541476, 3434780449000000, ...
22 4 1, 729, 284089, 3900625, 15175959521, 590725976569, 8110813506601, 3156387347610225, 1228333148092290241, 16865317394711073289, 6563271907899976822281, 2554149271482890096235025, 35069100108493095964960369, ...
28 4 1, 81, 3136, 30625, ...
30 4 1, 203401, 1819801, 164024190001, 1467492382801, 132269434866199801, 1183388792474889001, 106662336814809228952801, 954287089027867949018401, 86012721732003522411131649001, 769539017165067381031862931001, 69360830830024442142566574789968401, 620557802518990379109828463337266801, 55932712702907357470917967521368968071001, 500419053066149340677758825111066761145801, ...
32 4 1, 1089, 9025, 4190209, 34680321, 16098788161, 133241790529, 61851539930625, 511914924538369, 237633600314679361, 1966777006834629441, 912988230557458180609, 7556356748343721780225, 3507700544168154015226689, 29031520660359572245001281, 13476584577705817169042764801, 111539094820744728221573147649, 51777034439845205395308287145025, 428533173269780585467711788272449, 198927352841300701422957270168427521, 1646424340163402188622220468969607681, 764278837839242855021796436678811396929, 6325561886374617938905985574069444444225, 2936359096051018207693040486762723218579969, ...
40 4 1, 576, 123201, ...
44 4 1, 256, 1521, 136161, 802816, 71757841, 423083761, 37816247296, 222964340481, ...
50 4 1, 5776, 30276, 55487601, 290736601, 532791965476, 2791652838976, 5115868397039401, 26805450269137401, 49122567815580389376, 257385930692604511876, 471674891049334501775401, 2471419679704938253922401, 4529022254733142070467037476, 23730571507140886421558408976, 43487671218272739111289992095601, 227860945140147111714865589091601, ...
64 4 1, 64, 625, 48400, 450241, ...
66 4 1, 1223236, 5107600, 1629005505625, 6801867425521, 2169369437921667136, 9058142076710164516, 2888979651650786027844601, ...
68 4 1, 400, 41616, 4289041, 17514225, ...
96 4 1, 14400, 46656, 132733441, 429940225, ...
128 4 1, 148225, 408321, 9563079681, 26342913025, 616952522883841, 1699486690978561, 39802075051765530625, 109640684355448463361, 2567791069272648920349441, 7073359108807915474785025, 165658473003253597395658798081, 456330689435993174584833131521, 10687290724764111513110882779540225, 29439718091200304556358009172652801, 689479873651773417153581894243599769601, 1899273972479365758712887429179690164225, ...
132 4 1, 784, 262144, 10597261249, 28731945025, ...
140 4 1, 1002001, 2637376, 1023640086001, ...
156 4 1, 18496, 288456256, ...

En alguns casos, com s=10 i t=4, no hi ha cap nombre en ambdós conjunts a part de la unitat.

El problema de trobar nombres que pertanyen a tres conjunts poligonals és més difícil. Una cerca informàtica de nombres triangulars quadrats pentagonals ha donat només el valor trivial d'1, però encara no s'ha editat cap demostració que no n'hi ha més.[3]

El nombre 1225 és hecatonicositetragonal (s=124), hexacontagonal (s=60), icosienneagonal (s=29), hexagonal, quadrat, i triangular.

L'únic conjunt poligonal que és contingut en un altre conjunt poligonal és el conjunt de nombres hexagonals, que és contingut en el conjunt de nombres triangulars.[cal citació]

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Notes[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]