Polígon estrellat

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Conjunt de polígons estrellats regulars
Pentacle
{5/2}
Polígon estrellat 7/2
{7/2}
Polígon estrellat 7/3
{7/3}
Polígon estrellat 8/3
{8/3}
Polígon estrellat 9/2
{9/2}
Polígon estrellat 9/4
{9/4}
Polígon estrellat 10/3
{10/3}
...
Símbol de Schläfli
2<2q<p
mcd(p,q)=1
{p/q}
Vèrtexs i costats p
Diagrama de Coxeter–Dynkin Anellp/qPunt
Grup de simetria Diedral (Dp)
Polígon dual Autodual
Angle intern
(en graus)
\frac{180(p-2q)}{p}[1]

En geometria, un polígon estrellat és un polígon còncau anomenat així per la seva semblança a una estrella. Només s'han estudiat amb certa profunditat aquells que són regulars, ja que els polígons estrellats en general no han estat definits formalment. També se'ls anomena simplement estrella i no s'han de confondre amb els dominis estrellats.

Polígons estrellats regulars[modifica | modifica el codi]

En geometria, un polígon estrellat regular és un polígon amb angles iguals i costats iguals que es tallen entre ells mateixos. Es pot crear unint un vèrtex d'un polígon regular simple de p costats amb un altre vèrtex no adjacent del qual dista q vèrtexs, i repetint el procés fins que es retorna al vèrtex inicial.[2] També es pot considerar que, per dos nombres enters p i q, es construeix unint cada q-èssim punt d'entre p punts equidistants en una circumferència.[3] Per exemple, en un pentàgon regular, una estrella de cinc puntes es pot obtenir dibuixant una línia des del primer al tercer vèrtex, del tercer al cinquè, del cinquè al segon, del segon al quart i del quart al primer una altra vegada. La notació per aquests polígons, segons el símbol de Schläfli, és {p/q}, que és el mateix que {p/p-q}. Els polígons estrellats regulars es produeixen quan p i q són coprimers. Els polígons regulars estrellats van ser estudiats sistemàticament per Thomas Bradwardine.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Exemples d'estrelles geomètriques ordenades segons el símbol de Schläfli:

Exemples d'estrelles geomètriques ordenades segons el símbol de Schläfli

Figures estrellades[modifica | modifica el codi]

Hexagrama 6/2
Figura estrellada
hexagrama
2{3} o {6/2}
Eneagrama 9/3
Figura estrellada
eneagrama
3{3} o {9/3}

Si el nombre de costats p és divisible per q, la figura estrellada resultant serà un polígon regular de p/q costats. Una nova figura s'obté rotant aquests p/q-àgons regulars d'un vèrtex en un vèrtex en el polígon original fins que el nombre del vèrtexs rotats sigui igual a p/q menys u, i combinant aquests polígons. Un cas extrem seria quan p/q és 2, produint una figura que consisteix en p/2 segments rectes.

En altres casos on p i q tenen un factor comú, s'obté un polígon estrellat corresponent a una p més baixa, i es poden combinar versions amb una rotació diferent. Aquestes figures s'anomenen figures estrellades, polígons estrellats inapropiats o bé polígons combinats. Sovint s'utilitza la mateixa notació {p/q}, tot i que autoritats com Grünbaum (1994) argumenten que la forma k{p} és més correcta, on normalment k=q.

Una altra complicació és la combinació de dos o més polígons estrellats, com per exemple dos pentacles inscrits en un decàgon, amb una rotació de diferència entre ells de 36°. Això s'escriu correctament en la forma k{p/q}, com a 2{5/2}, millor que la més utilitzada {10/4}.

Simetria[modifica | modifica el codi]

Els polígons estrellats regulars i les figures estrellades poden ser concebuts com a un diagrama de classes laterals dels subgrups x\mathbb{Z}_n del grup finit \mathbb{Z}_n.

El grup de simetria de {p/k} és el grup diedral Dp d'ordre 2p, independent de k.

Polígons estrellats irregulars[modifica | modifica el codi]

La línia blanca d'aquest graf és un polígon cíclic hexagonal irregular. Defineix la figura de vèrtex del gran icosidodecaedre retrotruncat. Les longituds dels costats són definides per la distància entre vèrtexs alternatsde les cares del políedre uniforme.

Un polígon estrellat no ha de ser necessàriament regular. Hi ha polígons cíclics estrellats irregulars que es construeixen com a figures de vèrtex dels políerdes uniformes, definits per la seqüència de cares al voltant de cada vèrtex, permetent múltiples girs i direccions retrògrades.[4]

L'hexagrama unicursal és un altre exemple de polígon cíclic estrellat irregular, que conté només D2h simetries diedrals.

Interiors dels polígons estrellats[modifica | modifica el codi]

Els polígons estrellats deixen una ambigüitat respecte a la interpretació dels seus interiors. Aquest diagrama mostra tres interpretacions d'un pentacle.

Tres interpretacions d'un pentacle

1. La interpretació de l'esquerra té els 5 vèrtexs d'un pentàgon regular units alternativament en un camí cíclic, saltant-se vèrtexs alternadament. L'interior és tota la zona contigua a cada costat (per dins) fins a la següent intersecció. Això fa que la regió pentagonal convexa estigui, de fet, a l'exterior, i en general es pot determinar l'interior amb una regla de paritat que consisteix en contar quants costats s'han intersectat des d'un punt a l'infinit.
2. La interpretació central també té els 5 vèrtexs d'un pentàgon regular units per un camí cíclic. L'interior pot tractar-se de:
a) l'interior d'un simple polígon de deu costats limitat pel perímetre del polígon, com en el tercer cas.
b) amb la regió central convexa pentagonal envoltada dues vegades, perquè el perímetre estrellat gira al voltant seu dues vegades.
3. La interpretació de la dreta crea nous vèrtexs a les interseccions dels costats (5 en aquest cas) i defineix un nou decàgon còncau format pel perímetre de la segona interpretació. De fet, així deixa de ser un pentagrama.

Cada cas porta a una interpretació diferent de l'àrea d'un polígon.

Examples d'interpretacions d'un prisme estrellat[modifica | modifica el codi]

Prisma heptagràmic {7/2}:

Heptagrames amb interior binari
Heptagrames amb
interior binari
Heptagrames amb un simple perímetre interior
Heptagrames amb
un simple perímetre interior

El prisma heptagràmic anterior mostra que diferents interpretacions poden crear aparences molt diferents.

Els constructors de models de políedres, com en Magnus Wenninger, solen representar les cares dels polígons estrellats de forma còcava, sense els costats interiors mostrats.

Polígons estrellats a l'art i la cultura[modifica | modifica el codi]

Els polígons estrellats han tingut un paper important en l'art i la cultura arreu del món. Aquest polígons no són sempre regulars però sempre tenen molta simetria. Alguns exemples en són:

Alguns símbols basats en polígons estrellats s'han entrellaçat, amb petits buits, i / o, en el cas d'una figura estrellada, utilitzant diferents colors.

Un polígon estrellat {8/3} (octagramma) inscrit en un octògon regular
Segell de Salomó (hexagramma entrellaçat {6/3}, amb cercle i punts)

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Polígon estrellat Modifica l'enllaç a Wikidata

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Kappraff, Jay. World Scientific. Beyond measure: a guided tour through nature, myth, and number, 2002, pàg. 258. ISBN 9789810247027. 
  2. Coxeter, Harold Scott Macdonald. Regular polytopes. Courier Dover Publications, 1973. ISBN 9780486614809. 
  3. Weisstein, Eric W. «Star Polygon». MathWorld--A Wolfram Web Resource.. [Consulta: 08-07-2009].
  4. H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller, Uniform polyhedra, Phil. Trans. 1954 (Taules 6-8)