Diagrama de Coxeter-Dynkin

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca
Diagrames de Coxeter-Dynkin per als grups de Coxeter finits fonamentals
Diagrames de Coxeter-Dynkin per als grups de Coxeter afins fonamentals

En geometria, un diagrama de Coxeter-Dynkin (diagrama de Coxeter, o graf de Coxeter) és un graf amb arestes etiquetades numèricament (anomenades «branques») que representen les relacions espacials entre una col·lecció de miralls (o hiperplans reflectits). Això descriu una construcció calidoscòpica: cada «node» del graf representa un mirall (anomenat faceta) i l'etiqueta enganxada a la branca codifica l'ordre de l'angle díedre entre dos miralls (en una cresta de domini). Una branca no marcada representa implícitament ordre-3.

Cada diagrama representa un grup de Coxeter, i els grups de Coxeter estan classificats pels seus diagrames associats.

Els diagrames de Dynkin estan estretament relacionats, però difereixen dels diagrames de Coxeter en dos aspectes:

  • en primer lloc, les branques etiquetades com «4» o més grans són dirigides, mentre que els diagrames de Coxeter no són dirigides;
  • en segon lloc, els diagrames Dynkin han de satisfer una restricció (cristal·logràfica) addicional, és a dir, que les úniques branques permeses són les etiquetades com 2, 3, 4 i 6.

Els diagrames Dynkin es corresponen i s'utilitzen per classificar els sistemes d'arrels i, per tant, les àlgebres de Lie semisimple.[1]

Descripció[modifica | modifica el codi]

Les branques d'un diagrama de Coxeter-Dynkin estan etiquetades amb un nombre racional p, el que representa un angle diedre de 180°/p. Quan p = 2, l'angle és de 90° i els miralls no tenen cap interacció, de manera que la branca pot ser omesa del diagrama. Si una branca no està marcada, se suposa que té p = 3, el que representa un angle de 60°. Dos miralls paral·lels tenen una branca marcada amb «». En principi, n miralls poden ser representats per un graf complet en el qual es dibuixen totes les n(n - 1)/2 branques. A la pràctica, gairebé totes les configuracions interessants dels miralls inclouen una sèrie d'angles rectes, de manera que s'ometen les branques corresponents.

Els diagrames poden ser etiquetats per la seva estructura gràfica. Les primeres formes estudiades per Ludwig Schläfli són els ortoesquemes que tenen gràfics lineals que generen polítops regulars i tessel·lacions regulars. Els plagioesquemes són símplex representats pels grafs ramificats, i els cicloesquemes són símplex representats per grafs cicles.

La matriu de Schläfli[modifica | modifica el codi]

Cada diagrama de Coxeter té una matriu de Schläfli corresponent amb elements de matriu ai,j = aj,i = -2cos (π / p), on p és l'ordre de la branca entre els parells de miralls. Com és una matriu de cosinus també s'anomena matriu de Gram. Totes les matrius de Schläfli del grup de Coxeter són simètriques perquè els seus vectors d'arrel estan normalitzats. Es relaciona estretament a la matriu de Cartan, que s'utilitza de forma similar, però els grafs dirigits dels diagrames de Dynkin estan limitats en els casos de p= 2, 3, 4 i 6, que en general NO són simètrics.

El determinant de la matriu de Schläfli, anomenat el Schläflià, i el seu signe determina si el grup és finit (positiu), afí (zero), indefinit (negatiu). Aquesta regla es denomina Criteri de Schläfli.[2]

Els valors propis de la matriu de Schläfli determina si un grup de Coxeter és de tipus finit (tots positius), afí (tot no negatiu, almenys un és zero), o de tipus indefinit (en cas contrari). El tipus indefinit de vegades se subdivideix, per exemple, en grups de Coxeter hiperbòlics i altres. No obstant això, hi ha múltiples definicions no equivalents per als grups de Coxeter hiperbòlics. Utilitzem la següent definició: Un grup de Coxeter amb el diagrama connectat és hiperbòlic si no és ni de tipus finit ni afí, però cada subdiagrama apropiat connectat és de tipus finit o afí.

Un grup de Coxeter hiperbòlic és compacte si tots els subgrups són finits (és a dir, tenen determinants positius), i paracompacte si tots els seus subgrups són finits o afíns (és a dir, tenen determinants no negatius). Els grups finits i afins també s'anomenen el·líptics i parabòlics, respectivament. Els grups hiperbòlics també s'anomenen Lannér i F. Lannér, qui va enumerar els grups hiperbòlics compactes en 1950,[3] i Koszul (o quasi-Lannér) per als grups paracompactes.

Grups de Coxeter de rang 2[modifica | modifica el codi]

Pel rang 2, la varietat d'un grup de Coxeter està totalment determinada pel determinant de la matriu Schläfli, ja que és simplement el producte dels valors propis:

  • tipus finit (determinant positiu),
  • tipus afí (determinant igual a zero),
  • tipus hiperbòlic (determinant negatiu).

Coxeter utilitza una notació gràfica equivalent, que enumera les seqüències de l'ordre de ramificació com un substitut dels diagrames de grafs amb nodes i branques. També hi ha solucions racionals ([p/q] o CDel node.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel q.pngCDel node.png ), amb mcd (p, q) = 1, que defineixen la superposició de dominis fonamentals. Per exemple, 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4 i 6/5.

Tipus Finit Afí Hiperbòlic
Geometria Dihedral symmetry domains 1.png Dihedral symmetry domains 2.png Dihedral symmetry domains 3.png Dihedral symmetry domains 4.png ... Dihedral symmetry domains infinity.png Horocycle mirrors.png Dihedral symmetry ultra.png
Coxeter CDel node c1.png
[ ]
CDel node c1.pngCDel 2.pngCDel node c3.png
[2]
CDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
[3]
CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c3.png
[4]
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png
[p]
CDel node c1.pngCDel infin.pngCDel node c3.png
[∞]
CDel node c2.pngCDel infin.pngCDel node c3.png
[∞]
CDel node c2.pngCDel ultra.pngCDel node c3.png
[iπ/λ]
Ordre 2 4 6 8 2p
Les línies de mirall són de color per correspondre als nodes del diagrama de Coxeter.
Els dominis fonamentals estan acolorits alternativament.
Diagrames del grup Coxeter de rang 2
Ordre
p
Grup Diagrama de Coxeter Matriu de Schläfli
Determinant
(4-a21*a12)
Finit (Determinant > 0)
2 I2(2) = A1xA1 CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png [2] 4
3 I2(3) = A2 CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png [3] 3
3/2 CDel node.pngCDel 3x.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.png [3/2]
4 I2(4) = B2 CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png [4] 2
4/3 CDel node.pngCDel 4.pngCDel rat.pngCDel 3x.pngCDel node.png [4/3]
5 I2(5) = H2 CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png [5]
~1.38196601125
5/4 CDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 4.pngCDel node.png [5/4]
5/2 CDel node.pngCDel 5-2.pngCDel node.png [5/2]
~3.61803398875
5/3 CDel node.pngCDel 5-3.pngCDel node.png [5/3]
6 I2(6) = G2 CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png [6] 1
6/5 CDel node.pngCDel 6.pngCDel rat.pngCDel 5.pngCDel node.png [6/5]
8 I2(8) CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png [8]
~0.58578643763
10 I2(10) CDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png [10]
=

~0.38196601125

12 I2(12) CDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png [12]

~0.26794919243

p I2(p) CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png [p]
Afí (Determinant = 0)
I2(∞) = = CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png [∞] 0
Hiperbòlic (Determinant ≤ 0)
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png [∞] 0
CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png [iπ/λ]

Visualitzacions geomètriques[modifica | modifica el codi]

El diagrama de Coxeter-Dynkin pot ser vist com un graf descriptiu del domini fonamental dels miralls. Un mirall representa un hiperplà en un espai esfèric, euclidià, o en un espai hiperbòlic; (en els espais 2D un mirall és una línia, i en 3D un mirall és un pla).

Aquestes visualitzacions mostren els dominis fonamentals dels grups euclidians 2D i 3D, i dels grups esfèrics 2D. Per a cada diagrama de Coxeter es pot deduir mitjançant la identificació els miralls hiperplans i l'etiquetatge de les seves connectivitats, fent cas omís dels angles diedres de 90° (ordre 2).

Coxeter-dynkin plane groups.png
Grups de Coxeter en el pla euclidià amb els diagrames equivalents.

Les reflexions estan etiquetades en els nodes del graf, R1, R2, etc., i estan acolorides pel seu ordre reflexió. Les reflexions de 90° estan inactives, i per tant suprimides del diagrama. Els miralls paral·lels estan connectats per la branca etiquetada amb ∞. El grup prismàtic x es mostra com una duplicació de , però també es pot crear com a domini rectangular de la duplicació dels triangles . és una duplicació del triangle .

Hyperbolic kaleidoscopes.png
Molts grups de Coxeter en el pla hiperbòlic es poden estendre a partir dels casos euclidians com una sèrie de solucions hiperbòliques.
Coxeter-Dynkin 3-space groups.png
Grups de Coxeter en espai 3D amb diagrames.

Els miralls (cares triangulars) són etiquetats per 0..3 al vèrtex oposat. Les branques s'acoloreixen pel seu ordre reflexió.


omplert amb un 1/48 de cub. omplert amb 1/24 de cub. omplert amb 1/12 de cub.

Coxeter-Dynkin sphere groups.png
Grups de Coxeter en l'esfera amb diagrames equivalents.

Un domini fonamental es resumeix en groc. Els vèrtexs del domini (i les branques del graf) s'acoloreixen pel seu ordre reflexió.

Grups de Coxeter finits[modifica | modifica el codi]

Vegeu també famílies de polítops per a una taula de polítops uniformes de node final associats amb aquests grups.
  • Es donen tres símbols diferents per als mateixos grups; una lletra / nombre, un conjunt de nombres entre claudàtors, i el diagrama de Coxeter.
  • Els grups Dn bifurcats són la meitat o la versió alternada dels grups regulars Cn.
  • Els grups Dn i En bifurcats també són etiquetats amb una forma superíndexada [3a,b,c], on a, b, c són els números de segments en cadascuna de les tres branques.
Grafs de Dynkin connectats fins a (rangs d'1 a 9)
Rang Grups de Lie simple Grups de Lie excepcionals  
1 A1=[ ]
CDel node.png
 
2 A2=[3]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B2=[4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
D2=A1A1
CDel nodes.png
  G2=[6]
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
H2=[5]
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
I2[p]
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.png
3 A3=[32]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B3=[3,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D3=A3
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
E3=A2A1
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png CDel nodeb.png
F3=B3
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
H3 
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 A4=[33]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B4=[32,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D4=[31,1,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
E4=A4
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.png
F4
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H4 
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5 A5=[34]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B5=[33,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D5=[32,1,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
E5=D5
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
   
6 A6=[35]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B6=[34,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D6=[33,1,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
E6=[32,2,1]
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
7 A7=[36]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B7=[35,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D7=[34,1,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
E7=[33,2,1]
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
8 A8=[37]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B8=[36,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D8=[35,1,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
E8=[34,2,1]
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
9 A9=[38]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
B9=[37,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
D9=[36,1,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
 
10+ .. .. .. ..

Aplicació amb polítops uniformes[modifica | modifica el codi]

Coxeter node markup1.png
En la construcció de polítops uniformes, els nodes es marquen com «actius» amb un anell si un punt generador està fora del mirall, creant una nova vora entre el punt generador i la seva imatge especular. Un node sense anell representa un mirall inactiu que no genera nous punts.
Kaleidoscopic construction of square.png
Dos miralls ortogonals es poden utilitzar per generar un quadrat, CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png, vist aquí amb un punt de generador en vermell i 3 còpies virtuals a través dels miralls. El generador ha de ser de tots dos miralls, en aquest cas ortogonal, per generar a l'interior. Els punts marcats amb anells se suposa que són generadors actius que tenen la mateixa distància de tots els miralls, mentre que un rectangle també es pot representar una solució uniforme.

Els diagrames de Coxeter-Dynkin poden enumerar explícitament gairebé totes les classes de politops uniformes i mosaics uniformes. Cada polítop uniforme amb simetria de reflexió pura (tots, excepte uns pocs casos especials, tenen simetria de reflexió pura) pot ser representat per un diagrama de Coxeter-Dynkin amb permutacions de marques. Cada polítop uniforme pot ser generat utilitzant aquest tipus de miralls i un únic punt generador; les imatges del mirall creen nous punts com reflexos, i llavors els polítops arestes poden ser definits entre els punts i un punt de la imatge del mirall. Les cares poden ser construïdes per cicles d'arestes creades, etc. Per especificar la generació del vèrtex, un o més nodes estan marcats amb els anells, el que significa que el vèrtex no està dins del mirall(s), representat per node(s) amb anell(s); si dos o més miralls estan marcats, el vèrtex és equidistant a ells. Un mirall és actiu (crea reflexions) només pel que fa als punts, no en ell. Un diagrama necessita almenys un node actiu per representar un polítop.

Tots els polítops regulars, representats pel símbol de Schläfli {p, q, r, ...}, poden tenir els seus dominis fonamentals representats per un conjunt de n miralls relacionats amb un diagrama de Coxeter-Dynkin d'una línia de nodes i branques etiquetades per p, q, r, ..., amb el primer node anellat.

Els polítops uniformes amb un anell corresponen al generador de punts en els cantons del domini fonamental símplex. Dos anells corresponen a les arestes del símplex i tenen un grau de llibertat, amb només el punt mitjà com la solució uniforme per a la mateixa longitud de l'aresta. En general, el generador de punts de k-anells estan en (k-1)-cares del símplex, i si tots el nodes estan anellats, el punt generador està a l'interior del símplex.

Un marcat secundari transmet un cas especial de polítops uniformes amb simetria no-reflectiva. Aquests casos existeixen com alternatives de polítops de simetria de reflexió. Aquest marcat elimina el punt central d'un node anellat, anomenat «forat» (cercles amb nodes esborrats), que dona a entendre que els nodes alternatius han sigut eliminats. El polítop resultant tindrà una subsimetria del grup de Coxeter original. Una truncació alternada s'anomena «xato».

  • Un únic node representa un sol mirall; això s'anomena grup A1. Si el node amb anell crea un segment de recta perpendicular al mirall, es representa com {}.
  • Dos nodes no units representen dos miralls perpendiculars. Si tots dos nodes tenen un anell es pot crear un rectangle, o un quadrat si el punt està a la mateixa distància de tots dos miralls.
  • Dos nodes connectats per una branca d'ordre n pot crear un n-gon si el punt està en un mirall, i un 2n-gon si el punt està fora de tots dos miralls. Això forma el grup I1 (n).
  • Dos miralls paral·lels poden representar un polígon infinit, formant el grup I1 (∞), també anomenat Ĩ1.
  • Tres miralls en triangle formen imatges vistes en un calidoscopi tradicional i es poden representar per tres nodes connectats a un triangle. Repetint aquest model s'obtenen branques etiquetades com (3 3 3), (4 4 2), (3 2 6), encara que els dos últims es poden dibuixar com una línia (amb les dues branques ignorades). Aquestes generaran tessel·lats regulars.
  • Tres miralls poden generar políedres uniformes; inclosos els nombres racionals dóna el conjunt de triangles de Schwarz.
  • Tres miralls, amb un perpendicular als altres dos, poden formar els prismes regulars.
Wythoffian construction diagram.png
En general, hi ha 7 construccions uniformes reflectores dins d'un triangle, a partir de 7 posicions topològiques del generador dins el domini fonamental.

Cada mirall actiu té un generador en un vèrtex, amb dos miralls actius es tenen generadors en els costats, i tres miralls actius es té el generador a l'interior.

Es poden resoldre un o dos graus de llibertat per una posició única per a longituds de les arestes del poliedre resultant o de la tessel·lació.

Polyhedron truncation example3.png
Exemple 7 generadors en simetria octaèdrica, domini fonamental del triangle (4 3 2), amb generació d'1/8 xato com una alternança.

De vegades, els polítops uniformes dobles es marquen amb una barra perpendicular en substitució del nodes anellats, i una barra per als forats del nodes xatos. Per exemple, CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png representa un rectangle (com dos miralls ortogonals actius), i CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png representa el seu polígon dual, el rombe.

Exemple de políedres i tessel·lats[modifica | modifica el codi]

Per exemple, el grup Coxeter B3 té un diagrama CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png ; això també es diu simetria octaèdrica.

Hi ha 7 políedres uniformes convexes que es poden construir a partir d'aquest grup de simetria i 3 a partir de les seves subsimetries de les seves alternances, cada un amb un diagrama de Coxeter-Dynkin marcat de manera única cap amunt. El símbol de Wythoff representa un cas especial del diagrama de Coxeter de grafs de rang 3, amb totes les branques d'ordre 3 etiquetades, en lloc de suprimir les banques d'ordre 2. El símbol de Wythoff és capaç de manejar la forma xata, però no les alternances generals i sense tots els nodes anellats.

Políedres octaèdrics uniformes
Simetria: [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{3,4}
s{31,1}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png =
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png or CDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png =
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png or CDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h0.png =
CDel node h.pngCDel split1.pngCDel nodes hh.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg
Uniform polyhedron-33-t02.png
Uniform polyhedron-43-t12.svg
Uniform polyhedron-33-t012.png
Uniform polyhedron-43-t2.svg
Uniform polyhedron-33-t1.png
Uniform polyhedron-43-t02.png
Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png
Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t0.pngUniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t01.pngUniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
Uniform polyhedron-33-s012.png
Duals de políedres uniformes
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V33 V3.62 V35
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Dodecahedron.svg

Les mateixes construccions es poden fer en grups de Coxeter inconnexos (ortogonals) com els prismes uniformes, i es pot veure més clarament com mosaics de diedres i hosohedres sobre l'esfera, com la família [6] × [ ] o [6,2] :

Políedres esfèrics diedres hexagonals uniformes
Simetria: [6,2], (*622) [6,2]+, (622) [6,2+], (2*3)
Hexagonal dihedron.png Dodecagonal dihedron.png Hexagonal dihedron.png Spherical hexagonal prism.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical truncated trigonal prism.png Spherical dodecagonal prism2.png Spherical hexagonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
{6,2} t{6,2} r{6,2} t{2,6} {2,6} rr{6,2} tr{6,2} sr{6,2} s{2,6}
Duals dels políedres uniformes
Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical dodecagonal hosohedron.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical hexagonal bipyramid.png Hexagonal dihedron.png Spherical hexagonal bipyramid.png Spherical dodecagonal bipyramid.png Spherical hexagonal trapezohedron.png Spherical trigonal trapezohedron.png
V62 V122 V62 V4.4.6 V26 V4.4.6 V4.4.12 V3.3.3.6 V3.3.3.3

En comparació, la família [6,3], CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png produeix un conjunt paral·lel de 7 tessel·lats uniformes del pla euclidià i el seu tessel·lat dual. També en aquest cas hi ha 3 alternances i alguna versió de mitja simetria.

Políedres hexagonals uniformes / Tessel·lats triangulars
Simetria: [6,3], (*632) [6,3]+
(632)
[6,3+]
(3*3)
{6,3} t{6,3} r{6,3} t{3,6} {3,6} rr{6,3} tr{6,3} sr{6,3} s{3,6}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform tiling 63-t0.png Uniform tiling 63-t01.png Uniform tiling 63-t1.png Uniform tiling 63-t12.png Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 63-t02.png Uniform tiling 63-t012.png Uniform tiling 63-snub.png Uniform tiling 63-h12.png
63 3.122 (3.6)2 6.6.6 36 3.4.12.4 4.6.12 3.3.3.3.6 3.3.3.3.3.3
Duals dels políedres uniformes
1-uniform 1 dual.svg 1-uniform 4 dual.svg 1-uniform 7 dual.svg 1-uniform 11 dual.svg 1-uniform 1 dual.svg 1-uniform 6 dual.svg 1-uniform 3 dual.svg 1-uniform 10 dual.svg 1-uniform 11 dual.svg
V63 V3.122 V(3.6)2 V63 V36 V3.4.12.4 V.4.6.12 V34.6 V36

En el pla hiperbòlic [7,3], CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png la família produeix un conjunt paral·lel de tessel·lats uniformes del pla euclidià i el seu tessel·lat dual. Només ha 1 alternança (xata), ja que tots els ordres de ramificació són imparells. Moltes altres famílies hiperbòliques dels tessel·lats uniformes es poden veure en els tessel·lats uniformes en pla hiperbòlic.

Políedres heptagonals uniformes / Tessel·lats triangulars
Simetria: [7,3], (*732) [7,3]+, (732)
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 7.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform tiling 73-t0.png Uniform tiling 73-t01.png Uniform tiling 73-t1.png Uniform tiling 73-t12.png Uniform tiling 73-t2.png Uniform tiling 73-t02.png Uniform tiling 73-t012.png Uniform tiling 73-snub.png
{7,3} t{7,3} r{7,3} t{3,7} {3,7} rr{7,3} tr{7,3} sr{7,3}
Duals dels políedres uniformes
CDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 7.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 7.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Uniform tiling 73-t2.png Ord7 triakis triang til.png Order73 qreg rhombic til.png Order3 heptakis heptagonal til.png Uniform tiling 73-t0.png Deltoidal triheptagonal til.png Order-3 heptakis heptagonal tiling.png Ord7 3 floret penta til.png
V73 V3.14.14 V3.7.3.7 V6.6.7 V37 V3.4.7.4 V4.6.14 V3.3.3.3.7

Grups de Coxeter afins[modifica | modifica el codi]

Les famílies del tessel·lats euclidians convexos regulars es defineixen pels grups de Coxeter afins. Aquests grups són idèntics als grups finits amb la inclusió d'un node afegit. Els nom de les lletres se'ls dóna la mateixa lletra amb un ~ per sobre de la lletra. L'índex es refereix al grup finit, de manera que el rang és l'índex més 1 (els símbols d'Ernst Witt per als grups afins es donen com «també» entre parèntesis).

  1. : els diagrames d'aquest tipus són cicles. (també Pn)
  2.  : està associat amb la família de tessel·lació hipercúbica regular {4, 3, ...., 4}. (també Rn)
  3.  : relacionats amb C per un mirall eliminat. (també Sn)
  4.  : relacionats amb C per dos miralls eliminats. (també Qn)
  5. , , . (també T7, T8, T9)
  6.  : formes de la tessel·lació regular {3,4,3,3}. (també U5)
  7.  : formes del domini fonamental del triangle 30-60-90. (també V3)
  8.  : són dos miralls paral·lels. ( = = ) (també W2)

Els grups compostos també es poden definir com a projeccions ortogonals. L'ús més comú , com CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png representa els dominis d'un tauler d'escacs quadrat o rectangular al pla euclidià. CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png representa els dominis fonamentals del prisma triangular en el 3-espai euclidià.

Grafs de Coxeters afins (de 2 a 10 nodes)
Rang (P2+) (S4+) (R2+) (Q5+) (Tn+1) / (U5) / (V3)
2 =[∞]
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
  =[∞]
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
   
3 =[3[3]]
* CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,4]
* CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[6,3]
* CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 =[3[4]]
* CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,31,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,3,4]
* CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,3−1,31,1]
CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png =
5 =[3[5]]
* CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,3,31,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,32,4]
* CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,1,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
=[3,4,3,3]
* CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6 =[3[6]]
* CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,32,31,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,33,4]
* CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,3,31,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
 
7 =[3[7]]
* CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,33,31,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,34,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,32,31,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
=[32,2,2]
CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
8 =[3[8]]
* CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,34,31,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,35,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,33,31,1]
* CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
=[33,3,1]
* CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
9 =[3[9]]
* CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,35,31,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,36,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,34,31,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
=[35,2,1]
* CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
10 =[3[10]]
* CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
=[4,36,31,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[4,37,4]
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
=[31,1,35,31,1]
CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
11 ... ... ... ...

Grups de Coxeter hiperbòlics[modifica | modifica el codi]

Hi ha molts grups de Coxeter hiperbòlics infinits. Els grups hiperbòlics es classifiquen en compactes o no, amb els grups compactes que tenen dominis fonamentals delimitats. Existeixen grups hiperbòlics compactes símplex (Lannér símplex) amb rang de 3 a 5. Els grups paracompactes símplex (Koszul símplex) existeixen fins al rang 10. Els grups supercompactes (polítops Vinberg) han estat explorats però encara no s'han determinat totalment. En 2006, Allcock va demostrar que hi ha un nombre infinit de polítops Vinberg compactes per dimensions superiors a 6, i un nombre infinit de volums finits per politops Vinberg per a dimensions superiors a 19,[4] pel que una enumeració completa no és possible. Tots aquests dominis reflectants fonamentals, tant símplex com no-símplex, es solen anomenar «politops Coxeter» o, de vegades amb menys precisió, «políedres Coxeter».

Grups hiperbòlics en H2[modifica | modifica el codi]

Disc de Poincaré de domini fonamental triangular
Exemple de triangles rectangles [p,q]
H2checkers 237.png
[3,7]
H2checkers 238.png
[3,8]
Hyperbolic domains 932.png
[3,9]
H2checkers 23i.png
[3,∞]
H2checkers 245.png
[4,5]
H2checkers 246.png
[4,6]
H2checkers 247.png
[4,7]
H2checkers 248.png
[4,8]
H2checkers 24i.png
[∞,4]
H2checkers 255.png
[5,5]
H2checkers 256.png
[5,6]
H2checkers 257.png
[5,7]
H2checkers 266.png
[6,6]
H2checkers 2ii.png
[∞,∞]
Exemple de triangles generals [(p,q,r)]
H2checkers 334.png
[(3,3,4)]
H2checkers 335.png
[(3,3,5)]
H2checkers 336.png
[(3,3,6)]
H2checkers 337.png
[(3,3,7)]
H2checkers 33i.png
[(3,3,∞)]
H2checkers 344.png
[(3,4,4)]
H2checkers 366.png
[(3,6,6)]
H2checkers 3ii.png
[(3,∞,∞)]
H2checkers 666.png
[(6,6,6)]
H2checkers iii.png
[(∞,∞,∞)]
Vegeu també: Tessel·lats uniformes en pla hiperbòlic

Existeixen grups triangulars bidimensionals hiperbòlics com diagrames de Coxeter de rang 3, definits pel triangle (p q r) per a:

Hi ha un nombre infinit de grups de Coxeter triangulars hiperbòlics compactes, incloent els grafs lineals i triangulars. Existeixen els grafs lineals per triangles rectangles (amb r = 2).[5]

Grup de Coxeter hiperbòlic compacte
Lineal Cíclic
[p,q], CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png:
2(p+q)<pq

CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
...
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
...
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
...

∞ [(p,q,r)], CDel pqr.png: p+q+r>9

CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png

CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png

CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.png

CDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png
...

Existeixen grups de Coxeter paracompactes de rang 3 com a límits als compactes.

Grafs lineals Grafs cíclics
  • [p,∞] CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
  • [∞,∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
  • [(p,q,∞)] CDel 3.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel 3.png
  • [(p,∞,∞)] CDel 3.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel 3.png
  • [(∞,∞,∞)] CDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel 3.png

Grups triangulars aritmètics[modifica | modifica el codi]

Els grups triangulars hiperbòlics que també són grups aritmètics formen un subconjunt finit. Kisao Takeuchi va determinar la llista completa amb ordinador i la va publicar en el seu Arithmetic triangle groups, 1977 (Grups triangulars aritmètics).[6] Hi ha un total de 85 (76 compactes i 9 paracompactes).

Triangles rectangles (p q 2) Triangles generals (p q r)
Grups compactes: (76)
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 11.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 14.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 16.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3x.pngCDel 0x.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 20.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3x.pngCDel 0x.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 14.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 16.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 15.pngCDel node.pngCDel 3x.pngCDel 0x.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 18.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.png

Triangles rectangles paracompactes: (4)

CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
Triangles generals: (39)
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 9.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 12.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 15.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 12.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 18.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 3x.pngCDel 0x.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 9.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 16.pngCDel node.pngCDel 16.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 10.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 15.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 10.png
CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel 4.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 9.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 18.pngCDel node.pngCDel 18.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 12.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 15.pngCDel node.pngCDel 15.pngCDel node.pngCDel 15.png

Triangles generals paracompactes: (5)

CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel infin.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel infin.png, CDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.png
(2 3 7), (2 3 8), (2 3 9), (2 3 10), (2 3 11), (2 3 12), (2 3 14), (2 3 16), (2 3 18), (2 3 24), (2 3 30)
(2 4 5), (2 4 6), (2 4 7), (2 4 8), (2 4 10), (2 4 12), (2 4 18),
(2 5 5), (2 5 6), (2 5 8), (2 5 10), (2 5 20), (2 5 30)
(2 6 6), (2 6 8), (2 6 12)
(2 7 7), (2 7 14), (2 8 8), (2 8 16), (2 9 18)
(2 10 10) (2 12 12) (2 12 24), (2 15 30), (2 18 18)
(2 3 ∞) (2,4 ∞) (2,6 ∞) (2 ∞ ∞)
(3 3 4), (3 3 5), (3 3 6), (3 3 7), (3 3 8), (3 3 9), (3 3 12), (3 3 15)
(3 4 4), (3 4 6), (3 4 12), (3 5 5), (3 6 6), (3 6 18), (3 8 8), (3 8 24), (3 10 30), (3 12 12)
(4 4 4), (4 4 5), (4 4 6), (4 4 9), (4 5 5), (4 6 6), (4 8 8), (4 16 16)
(5 5 5), (5 5 10), (5 5 15), (5 10 10)
(6 6 6), (6 12 12), (6 24 24)
(7 7 7) (8 8 8) (9 9 9) (9 18 18) (12 12 12) (15 15 15)
(3,3 ∞) (3 ∞ ∞)
(4,4 ∞) (6 6 ∞) (∞ ∞ ∞)

Polígons hiperbòlics Coxeter per sobre dels triangles[modifica | modifica el codi]

Dominis fonamentals dels grups quadrilàters
Hyperbolic domains 3222.png
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png o CDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.png
[∞,3,∞]
[iπ/λ1,3,iπ/λ2]
(*3222)
Hyperbolic domains 2233.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png o CDel branch.pngCDel 3a2b-cross.pngCDel nodes.png
[((3,∞,3)),∞]
[((3,iπ/λ1,3)),iπ/λ2]
(*3322)
H2chess 246a.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png o CDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch.png
[(3,∞)[2]]
[(3,iπ/λ1,3,iπ/λ2)]
(*3232)
H2chess 248a.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png o CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch.pngCDel label4.png
[(4,∞)[2]]
[(4,iπ/λ1,4,iπ/λ2)]
(*4242)
H2chess 246b.png
CDel branch.pngCDel 3a3b-cross.pngCDel branch.png


(*3333)
Dominis amb vèrtexs ideals
Hyperbolic domains i222.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.png
[iπ/λ1,∞,iπ/λ2]
(*∞222)
Hyperbolic domains ii22.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel ia2b-cross.pngCDel nodes.png

(*∞∞22)
H2chess 24ia.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png
[(iπ/λ1,∞,iπ/λ2,∞)]
(*2∞2∞)
H2chess 24ib.png
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel iaib-cross.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png

(*∞∞∞∞)
H2chess 248b.png
CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 4a4b-cross.pngCDel branch.pngCDel label4.png

(*4444)

Es poden construir altres calidoscopis hiperbòlics H2 a partir de polígons d'ordre superior.

Aquests calidoscopis poden ser identificats com a grups triangulars per una seqüència cíclica d'interseccions de miralls d'ordres al voltant del domini fonamental, com (a b c d ...) o de forma equivalent en notació orbifold com *abcd....

Els diagrames de Coxeter-Dynkin per aquests calidoscopis poligonals poden ser vists com un domini fonamental degenerat (n-1)-símplex amb una cicle de branques ordenades a, b, c ... i les restants n*(n-3)/2 branques estan etiquetades com infinit (∞) que representen els miralls que no es tallen. L'únic exemple no-hiperbòlic és la simetria euclidiana de quatre miralls en un quadrat o un rectangle com CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, [∞, ∞, 2] (orbifold *2222).

Una altra representació de la branca de miralls que no es tallen, donada per Vinberg, són branques infinites o línies de punts discontínues, de manera que aquest diagrama es pot mostrar com CDel nodes.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.png, amb les quatre branques d'ordre-2 suprimides en tot el perímetre. Per exemple, un domini de quadrilàter (a b c d) tindrà dues branques d'ordre infinit que connecten miralls ultraparal·lels. L'exemple hiperbòlic més petit és CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png, [∞, 3, ∞] o [iπ/λ1,3,iπ/λ2] (orbifold *3222), on (λ1, λ2) són la distància entre els miralls ultraparal·lels. L'expressió alternativa és CDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.png, amb tres branques d'ordre-2 suprimides al voltant del perímetre. De la mateixa manera (2 3 2 3) (orbifold *3232) es pot representar com CDel branch.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch.png, i (3 3 3 3) (orbifold *3333) es pot representar com un gràfic complet CDel branch.pngCDel 3a3b-cross.pngCDel branch.png. El domini del quadrilàter més gran (∞ ∞ ∞ ∞) és un quadrat infinit, representat per un graf tetraèdric complet amb un perímetre de 4 branques com vèrtexs ideals i dues branques diagonals com infinit (que es mostren com a línies de punts) per als miralls ultraparal·lels: CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel iaib-cross.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png.

Grups hiperbòlics compactes (Grups Lannér símplex)[modifica | modifica el codi]

Els grups hiperbòlics compactes també s'anomenen Grups Lannér, perquè Folke Lannér va ser el primer que els va estudiar en 1950.[7] Només existeixen grafs de rang 4 i 5. Coxeter va estudiar els grups de Coxeter hiperbòlics lineals en Regular Honeycombs in hyperbolic space, 1954 (Tessel·lacions regulars en l'espai hiperbòlic),[8] que incloïa dues solucions racionals en 4-espai hiperbòlic: [5/2,5,3,3] = CDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png i [5,5/2,5,3] = CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Rangs 4–5[modifica | modifica el codi]

Vegeu també: Tessel·lació regular en l'espai hiperbòlic

El domini fonamental de qualsevol dels dos grups bifurcants, [5,31,1] i [5,3,31,1], és el doble que el corresponent als grups lineals [5,3,4] i [5,3,3,4], respectivament. Els noms de les lletres es donen per Johnson, ampliats amb símbols de Witt.[9]

Grups Coxeter hiperbòlics compactes
Dimensió
Hd
Rang Recompte total Lineal Bifurcat Cíclic
H3 4 9
3:

= [4,3,5]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
= [5,3,5]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
= [3,5,3]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

= [5,31,1]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

= [(33,4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png 
= [(33,5)]: CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png 
= [(3,4)[2]]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png
= [(3,4,3,5)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png
= [(3,5)[2]]: CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png

H4 5 5
3:

= [33,5]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
= [4,3,3,5]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
= [5,3,3,5]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

= [5,3,31,1]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

= [(34,4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png

Grups hiperbòlics paracompactes (Grups Koszul símplex)[modifica | modifica el codi]

Un exemple de tessel·lat aperiogonal d'ordre 3, {∞, 3} amb un Apeirogon verd que està circumscrit en un horocicle

Els grups de Coxeter hiperbòlics paracompactes (també anomenats no-compactes) contenen subgrups afins i tenen dominis fonamentals asimptòtics símplex. El rang més alt d'un grup hiperbòlic paracompacte és 10. Aquests grups s'anomenen així pel matemàtic francès Jean-Louis Koszul.[10] També se'ls anomena grups quasi-Lannér per ser una extensió dels grups Lannér compactes. M. Chein va determinar la llista completa amb ordinador i la va publicar en 1969.[11]

Per Vinberg, tots menys vuit d'aquests 72 grups compactes i paracompactes símplex són aritmètics. Dos dels grups no-aritmètics són compactes: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png i CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png. Els altres sis grups no-aritmètics són tots paracompactes, amb cinc grups de 3 dimensions, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png, CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label6.png, i CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label6.png, i un grup de 5 dimensions, CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png.

Símplex ideal[modifica | modifica el codi]

Dominis fonamentals ideals de CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png, [(∞, ∞, ∞)] vist en el model del Disc de Poincaré

Hi ha 5 grups de Coxeter hiperbòlics que expressen símplex ideals, grafs on s'elimina qualsevol node resultat en un grup de Coxeter afí. Així, tots els vèrtexs d'aquest símplex ideals són a l'infinit.[12]

Rang Grup ideal Subgrups afins
3 [(∞,∞,∞)] CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png [∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
4 [4[4]] CDel label4.pngCDel branch.pngCdel 4-4.pngCDel branch.pngCDel label4.png [4,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
4 [3[3,3]] CDel tet.png [3[3]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png
4 [(3,6)[2]] CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label6.png [3,6] CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
6 [(3,3,4)[2]] CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png [4,3,3,4], [3,4,3,3] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

Rangs 4–10[modifica | modifica el codi]

Vegeu també: Tessel·lat uniforme paracompacte
Infinites cèl·lules euclidianes com un tessel·lat hexagonal {6,3,3}, adequadament reduït que convergeixen en un sol punt ideal en l'infinit, com es mostra amb aquesta única cèl·lula en una projecció del model de disc de Poincaré

Hi ha un total de 58 grups de Coxeter hiperbòlics paracompactes de rang de 4 a 10. Els 58 s'agrupen en cinc categories. Els símbols de les lletres són donats pel matemàtic Johnson com a símbols de Witt ampliats, utilitzant PQRSTWUV com afins als símbols de Witt i afegint LMNOXYZ. Aquests grups hiperbòlics se'ls dóna una línia alta, o barret, per cicloesquemes. La sintaxi de claudàtor per Coxeter és una representació linealitzada del grup de Coxeter.

Grups hiperbòlics paracompactes
Rang Recompte total Grups
4 23

= [(3,3,4,4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 4-3.pngCDel branch.pngCDel 2.png
= [(3,43)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 4-3.pngCDel branch.pngCDel label4.png
= [4[4]]: CDel label4.pngCDel branch.pngCdel 4-4.pngCDel branch.pngCDel label4.png
= [(33,6)]: CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 2.png
= [(3,4,3,6)]: CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png
= [(3,5,3,6)]: CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label5.png
= [(3,6)[2]]: CDel label6.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label6.png

= [3,3[3]]: CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [4,3[3]]: CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
= [5,3[3]]: CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
= [6,3[3]]: CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
= [6,31,1]: CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
= [3,41,1]: CDel nodes.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [41,1,1]: CDel nodes.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

= [3,4,4]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [43]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
= [3,3,6]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
= [4,3,6]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
= [5,3,6]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
= [3,6,3]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [6,3,6]: CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png

= [3[]x[]]: CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.pngCDel split2.pngCDel node.png
= [3[3,3]]: CDel tet.png

5 9

= [3,3[4]]: CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [4,3[4]]: CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
= [(32,4,3,4)]: CDel branch.pngCdel 4-4.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
= [3[3]x[]]: CDel node.pngCDel split1.pngCDel branchbranch.pngCDel split2.pngCDel node.png

= [4,3,((4,2,3))]: CDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
= [3,4,31,1]: CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [4,32,1]: CDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

= [(3,4)2]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

= [4,31,1,1]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
6 12

= [3,3[5]]: CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [(35,4)]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
= [(3,3,4)[2]]: CDel label4.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel label4.png

= [4,3,32,1]: CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
= [3,4,31,1]: CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [3,(3,4)1,1]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png

= [33,4,3]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [3,3,4,3,3]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [3,4,3,3,4]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

= [32,1,1,1]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

= [4,3,31,1,1]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
= [31,1,1,1,1]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

7 3

= [3,3[6]]:
CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

= [31,1,3,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
= [4,32,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
8 4 = [3,3[7]]:
CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [31,1,32,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
= [4,33,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
= [33,2,2]:
CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
9 4 = [3,3[8]]:
CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= [31,1,33,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
= [4,34,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
= [34,3,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
10 3 = [ = [31,1,34,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
= [4,35,32,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
= [36,2,1]:
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
Les relacions dels subgrups dels grups hiperbòlics paracompactes[modifica | modifica el codi]

Aquests arbres representen les relacions dels subgrups dels grups hiperbòlics paracompactes. Els índexs dels subgrups en cada connexió s'indiquen en vermell.[13] Els subgrups d'índex 2 representen un mirall eliminat i una duplicació del domini fonamental. Altres poden ser inferides per commensurabilitat (quocient sencer de volums) per als dominis de tetraedres.

H3 Hyperbolic subgroup tree 36.png Hyperbolic subgroup tree 336-direct.png Hyperbolic subgroup tree 363.png Hyperbolic subgroup tree 344.png
H4 Hyperbolic subgroup tree 3434.png
H5 Hyperbolic subgroup tree 33343.png

Grups Coxeter hipercompactes (Polítops de Vinberg)[modifica | modifica el codi]

Igual que el pla hiperbòlic H2 té dominis poligonals no-triangulars, també existeixen dimensions superiors en els dominis hiperbòlics reflexius. Aquests dominis no-símplex es poden considerar símplex degenerats amb miralls que no es creuen donat ordre infinit, o en un diagrama de Coxeter, com branques dibuixades com línies de punts o discontínues. Aquests dominis es diuen polítops de Vinberg no-símplex, per Ernest Vinberg pel seu algorisme de Vinberg per trobar dominis fonamentals no-símplex d'un grup de reflexió hiperbòlic. Geomètricament aquests dominis fonamentals poden ser classificats com a piràmides, o prismes o altres polítops amb les arestes com la intersecció de dos miralls que tenen angles diedres com π/n per n = 2,3,4 ...

En un domini basat-símplex, hi ha n + 1, miralls per espai n-dimensional. En els dominis no-símplex, hi ha més de n + 1 miralls. La llista és finita, però no del tot coneguda. En comptes de fer llistes parcials, s'han enumerat com «n + k miralls» per k miralls, com 2, 3 i 4.

Els grups de Coxeter hipercompactes en un espai tridimensional o superior difereixen de dos grups dimensionals en un aspecte essencial. Dos n-gons hiperbòlics tenen els mateixos angles en el mateix ordre cíclic, però poden tenir diferents longituds d'aresta i en general no són congruents. En contrast, els polítops de Vinberg en 3 dimensions o superiors estan completament determinats pels angles diedres. Aquest fet es basa en el teorema de rigidesa de Mostow, en què els dos grups isomorfs generats per les reflexions en Hn per n ≥ 3 defineixen dominis fonamentals congruents (polítops de Vinberg).

Polítops de Vinberg amb rang n + 2 per a espais n-dimensionals[modifica | modifica el codi]

En 1996, Esselmann va enumerar la llista completa de polítops de Vinberg hiperbòlics compactes amb rang n + 2 miralls per n-dimensions.[14] Sr. I. Kaplinskaya va publicar una llista parcial en 1974.[15] En 2003, P. Tumarkin va publicar la llista completa de les solucions paracompactes per a dimensions de 3 a 17.[16]

La forma paracompacte més petita en H3 pot ser representada per CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png o [∞, 3,3, ∞], que pot ser construïda per un mirall eliminat del grup hiperbòlic paracompacte [3,4,4] com [3,4,1 +, 4 ].

El domini fonamental duplicat canvia d'un tetràedre a una piràmide quadrangular. Altres piràmides inclouen [4,4,1 +, 4] = [∞, 4,4, ∞], CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node.png= CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png. Eliminant un mirall d'alguns dels gràfs hiperbòlics cíclics de Coxeter es converteixen en grafs papallona: [(3,3,4,1 +, 4)] = [((3, ∞, 3)), ((3, ∞, 3 ))] o CDel branchu.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png; [(3,4,4,1 +, 4)] = [((4, ∞, 3)), ((3, ∞, 4))] o CDel branchu.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel branchu.png; [(4,4,4, 1 +, 4)] = [((4, ∞, 4)), ((4, ∞, 4))] o CDel branchu.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel split1-44.pngCDel branchu.png.

Altres gràfs paracompactes vàlids amb la piràmide quadrangular dels dominis fonamentals inclouen:

Dimensió Rang Grafs
H3 5
CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
CDel branchu.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
CDel branchu.pngCDel split2-53.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-54.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-55.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-63.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-64.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-65.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png, CDel branchu.pngCDel split2-66.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
CDel branchu.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-53.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngCDel split1-44.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-54.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-55.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-63.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-64.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-65.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png, CDel branchu.pngCDel split2-66.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branchu.png

Un altre subgrup és [1+,41,1,1] = [∞,4,1+,4,∞] = [∞[6]]; CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.pngCDel split1-44.pngCDel nodes.png = CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png = CDel node.pngCDel split1-uu.pngCDel nodes.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes.pngCDel split2-uu.pngCDel node.png.[17]

Polítops de Vinberg amb rang n + 3 per a espais n-dimensionals[modifica | modifica el codi]

Hi ha un nombre finit de símplex fonamentals degenerats per sobre de 8-dimensions. En 2004, P. Tumarkin va enumerar la llista completa dels polítops compactes de Vinberg amb rang n + 3 miralls de n-dimensions. Aquests grups estan marcats per línies de punts o trencada per branques ultraparal·leles. La llista completa de polítops no-compactes de Vinberg amb rang n + 3 miralls i amb un vèrtex no símplex per n-dimensions va ser enumerada per Mike Roberts.[18]

De grups de Coxeter de 4 a 8 dimensions, rangs de 7 a 11, hi ha 44, 16, 3, 1, i 1 respectivament.[19] El més alt va ser descobert per Bugaenko en 1984, la dimensió 8, rang 11:[20]

Dimensions Rang Casos Grafs
H4 7 44 ...
H5 8 16 ..
H6 9 3 CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.pngCDel ua3b.pngCDel nodes u0.pngCDel ua3b.pngCDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3aub.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel 10a.pngCDel nodea.png CDel nodea.pngCDel 5a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3aub.pngCDel nodes.pngCDel splitcross.pngCDel branch.pngCDel label5.png
H7 10 1 CDel node.pngCDel split1-53.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel ua3b.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2-53.pngCDel node.png
H8 11 1 CDel nodea.pngCDel 5a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3aub.pngCDel nodes 0u.pngCDel 3aub.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 5a.pngCDel nodea.png

Polítops de Vinberg amb rang n + 4 per a espais n-dimensionals[modifica | modifica el codi]

Hi ha un nombre finit de símplex fonamentals degenerats per sobre de 8-dimensions. Els polítops compactes de Vinberg amb rang n + 4 miralls de n-dimensions han estat explorats per A. i P. Felikson Tumarkin en 2005.[21]

Grups Lorentzians[modifica | modifica el codi]

 Tessel·lacions regulars amb grups lorentzians
H3 337 UHS plane at infinity.png
{3,3,7} en 3-espai hiperbòlic, fent la intersecció de l'enrajolat amb el pla infinit, en el model de semiespai de Poincaré.
Heptagonal tiling honeycomb.png
{7,3,3} vist des de l'exterior del model de bola de Poincaré.
Aquí es pot veure els 5 grups lorentzians disposats en subgrups des de [6,3,3,3] fins a [6,3,6,3]. El grup altament simètric CDel pent.png, [3[3,3,3]] és un subrup d'índex 120 de [6,3,3,3].

Els grups lorentzians per a dominis símplex es poden definir en forma de grafs més enllà de les formes hiperbòliques paracompactes. De vegades es denominen símplex súper ideals i també estan relacionades amb una geometria Lorentziana, anomenada així per Hendrik Lorentz en el camp de la relativitat especial i general de l'espai-temps, que conté un (o més) components tridimensionals en el temps amb els seus productes escalars negatius.[9] Danny Calegari els anomena «grups de Coxeter cocompactes convexos en espai hiperbòlic n-dimensional».[22][23]

En 1982, George Maxwell va enumerar una llista finita de Lorentz dels rangs 5 a 11 en el document Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups (Esfera embalatge i grups de reflexió hiperbòlics). Ell diu que en el nivell 2, l'expulsió de tota permutació de 2 nodes deixa un gràfic finit o euclidià. La seva enumeració és completa, però no va incloure els grafs que són un subgrup d'un altre.

Totes les branques d'ordre superior dels grups de Coxeter de rang 4 són de Lorentz, que acaben en el límit com un diagrama de Coxeter-Dynkin d'un graf complet 3-símplex amb 6 branques d'ordre infinit, que pot expressar-se com [∞ [3,3]].

Els rangs 5-11 tenen un nombre finit de grups lorentzians: 186, 66, 36, 13, 10, 8 i 4 grups respectivament.[24]

En 2013, H. Chen i J.P. Labbé, van tornar a calcular i publicar la llista completa en el document Lorentzian Coxeter groups and Boyd. Maxwell ball packings (Grups de Coxeter Lorentzians i de Boyd. Envasos de boles Maxwell).[25]

Per als rangs més alts de 8-11, les llistes completes són:

Grups Coxeter Lorentzians
Rang Recompte total Grups
4 [3,3,7] ... [∞,∞,∞]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png ... CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png

[4,3[3]] ... [∞,∞[3]]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png ... CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel split1-ii.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png
[5,41,1] ... [∞1,1,1]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1-44.pngCDel nodes.png ... CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel split1-ii.pngCDel nodes.png
... [(5,4,3,3)] ... [∞[4]]: ... CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 4a3b.pngCDel branch.png ... CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel iaib.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png
... [4[]×[]] ... [∞[]×[]]: ... CDel node.pngCDel split1-ii-i.pngCDel branch.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png
... [4[3,3]] ... [∞[3,3]]

5 186 ...[3[3,3,3]]:CDel pent.png ...
6 66
7 36 [31,1,1,1,1,1]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3.pngCDel node.png ...
8 13

[3,3,3[6]]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
[3,3[6],3]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3,3[2+4],3]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[3,3[1+5],3]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
[3[ ]e×[3]]:CDel node.pngCDel splitsplit1.pngCDel nodeabc.pngCDel 3abc.pngCDel nodeabc.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.png

[4,3,3,33,1]:CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[31,1,3,33,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[3,(3,3,4)1,1]:CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[32,1,3,32,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[4,3,3,32,2]:CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png
[31,1,3,32,2]:CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png

9 10

[3,3[3+4],3]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3,3[9]]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
[3,3[2+5],3]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split5b.pngCDel nodes.png

[32,1,32,32,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png [33,1,33,4]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png

[33,1,3,3,31,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[33,3,2]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

[32,2,4]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[32,2,33,4]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[32,2,3,3,31,1]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

10 8 [3,3[8],3]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

[3,3[3+5],3]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[3,3[9]]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png

[32,1,33,32,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png [35,3,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[33,1,34,4]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
[33,1,33,31,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[34,4,1]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
11 4 [32,1,34,32,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png [32,1,36,4]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png

[32,1,35,31,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[37,2,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

Diagrames Coxeter molt estesos[modifica | modifica el codi]

Un ús inclou una definició molt estesa de l'ús directe del diagrama de Dynkin que considera com a grups afins com estesos, grups hiperbòlics sobre-estesos, i un tercer node com a grups simples molt estesos. Aquestes extensions solen marcar un exponent de 1, 2 o 3 + símbols per al nombre de nodes estesos. Aquestes sèries esteses es poden estendre cap a enrere, per eliminació seqüencial dels nodes de la mateixa posició en el gràfic, tot i que el procés s'atura després de l'eliminació de node de ramificació. La família estesa E8 és l'exemple més comú que mostra que s'estén cap enrere des de E3 i cap endavant a E11.

El procés que s'estén es pot definir com una sèrie limitada de grafs de Coxeter que progressen de finit cap afí cap hiperbòlic cap a grup de Lorentz. El determinant de les matrius de Cartan determina on els canvis de la sèrie finita (positiu) per afí (zero) per hiperbòlica (negativa), i acaba com un grup de Lorentz, que conté almenys un subgrup hiperbòlic.[26] Els grups no-cristalogràfics Hn formen una sèrie estesa on H4 s'estén com una hiperbòlica compacta i es troba sobre-estesa en un grup de Lorentz.

Els determinants de la matriu de Schläfli per rang es:[27]

  • det(A1n=[2n-1]) = 2n (finit per tot n).
  • det(An=[3n-1]) = n+1 (finit per tot n).
  • det(Bn=[4,3n-2]) = 2 (finit per tot n).
  • det(Dn=[3n-3,1,1]) = 4 (finit per tot n).

Els determinants de la matriu Schläfli en sèrie excepcionals són:

  • det(En=[3n-3,2,1]) = 9-n (finit per E3(=A2A1), E4(=A4), E5(=D5), E6, E7 i E8, afí a E9 (), i hiperbòlic a E10).
  • det([3n-4,3,1]) = 2(8-n) (finit per n=4 fins a 7, afí a (), i hiperbòlic a n=8).
  • det([3n-4,2,2]) = 3(7-n) (finit per n=4 fins a 6, afí a (), i hiperbòlic a n=7).
  • det(Fn=[3,4,3n-3]) = 5-n (finit per F3(=B3) fins a F4, afí a F5 (), i hiperbòlic a F6).
  • det(Gn=[6,3n-2]) = 3-n (finit per G2, afí a G3 (), i hiperbòlic a G4).
Sèries petites desenvolupades
Finit
Rang n [3[3],3n-3] [4,4,3n-3] Gn=[6,3n-2] [3[4],3n-4] [4,31,n-3] [4,3,4,3n-4] Hn=[5,3n-2]
2 [3]
A2
CDel branch.png
[4]
C2
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[6]
G2
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
[2]
A12
CDel nodes.png
[4]
C2
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[5]
H2
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
3 [3[3]]
A2+=
CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node c1.png
[4,4]
C2+=
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.png
[6,3]
G2+=
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
[3,3]=A3
CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[4,3]
B3
CDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.png
[4,3]
C3
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[5,3]
H3
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 [3[3],3]
A2++=
CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.png
[4,4,3]
C2++=
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.png
[6,3,3]
G2++=
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.png
[3[4]]
A3+=
CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.png
[4,31,1]
B3+=
CDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node c1.png
[4,3,4]
C3+=
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.png
[5,3,3]
H4
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5 [3[3],3,3]
A2+++
CDel branch.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.png
[4,4,3,3]
C2+++
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.png
[6,3,3,3]
G2+++
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.png
[3[4],3]
A3++=
CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.png
[4,32,1]
B3++=
CDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.png
[4,3,4,3]
C3++=
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.png
[5,33]
H5=
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6 [3[4],3,3]
A3+++
CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.png
[4,33,1]
B3+++
CDel nodes.pngCDel split2-43.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.png
[4,3,4,3,3]
C3+++
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.png
[5,34]
H6
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Det(Mn) 3(3-n) 2(3-n) 3-n 4(4-n) 2(4-n)
Sèries mitjanes desenvolupades
Finit
Rang n [3[5],3n-5] [4,3,3n-4,1] [4,3,3,4,3n-5] [3n-4,1,1,1] [3,4,3n-3] [3[6],3n-6] [4,3,3,3n-5,1] [31,1,3,3n-5,1]
3 [4,3−1,1]
B2A1
CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 2.pngCDel nodeb.png
[4,3]
B3
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3−1,1,1,1]
A13
CDel nodeabc.png
[3,4]
B3
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[4,3,3]
C3
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
4 [33]
A4
CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png
[4,3,3]
B4
CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.png
[4,3,3]
C4
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[30,1,1,1]
D4
CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.png
[3,4,3]
F4
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[4,3,3,3−1,1]
B3A1
CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 2.pngCDel nodeb.png
[31,1,3,3−1,1]
A3A1
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 2.pngCDel nodeb.png
5 [3[5]]
A4+=
CDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node c1.png
[4,3,31,1]
B4+=
CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea c1.png
[4,3,3,4]
C4+=