Teorema de Picard-Lindelöf

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El teorema de Picard-Lindelof (de vegades anomenat simplement teorema de Picard, altres teorema de Cauchy-Lipschitz) és un resultat matemàtic de gran importància dins de l'estudi de les equacions diferencials ordinàries (EDO's). Estableix sota quines condicions pot assegurar-se l'existència i unicitat de solució d'una EDO donat un problema de Cauchy (problema de valor inicial).

Teorema[modifica | modifica el codi]

El teorema deu el seu nom al matemàtic francès Charles Émile Picard i al topòleg finès Ernst Leonard Lindelof.

Enunciat general[modifica | modifica el codi]

"Sigui , on és obert, una funció contínua i localment Lipschitz respecte de (interpretada com la forma estàndard d'una EDO n-dimensional de primer ordre). Llavors, donat , podem trobar un interval tancat on existeix una solució única del següent problema de Cauchy:

que compleix que els parells

Observació[modifica | modifica el codi]

És important observar que el teorema de Picard només ens garanteix l'existència i unicitat local de la solució d'una EDO. És a dir, més enllà de l'interval proporcionat pel teorema (atès que la seva demostració és constructiva) no podem dir res, en principi, del comportament de la solució del problema de valor inicial. És possible complementar el teorema assenyalant que hi ha un interval obert, que anomenarem interval maximal en el qual es pot garantir que la solució existeix i és única, fora d'aquest interval, el teorema de Picard no pot aplicar-se.