Trivial (matemàtica)

En matemàtica, el terme trivial es fa servir freqüentment per als objectes (per exemple, cossos o espais topològics) que tenen una estructura molt simple. Per als no que no són matemàtics, són a vegades més fàcils de entendre o visualitzar, que altres objectes més complicats. També es fa servir el terme trivial per a referir-se a una opció, possibilitat o cas poc interessant o exempta d'interès però que cal d'esmentar-se per un anhel de completitud.

Objectes trivials

Alguns exemples inclouen:

• conjunt buit - el conjunt que no conté elements
• grup trivial - el grup matemàtic que conté només l'element identitat

Casos i solucions trivials

També, trivial es refereix a solucions (a una equació) que tenen una estructura molt senzilla, però que per completitud no poden ser ignorades. Aquestes solucions són òbvies i sense interès, per tant "trivials". Per exemple, el darrer teorema de Fermat se sol enunciar dient que no hi ha solucions no trivials a l'equació $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ quan n és major que 2. Clarament, hi ha algunes solucions a l'equació. Per exemple, $a=b=c=0$ és una solució per a qualsevol n, tal com a = 1, b = 0, c = 1. Però aquestes solucions són evidents i sense interès, per tant "trivials".

Trivial en les demostracions

A més, els matemàtics fan servir la paraula trivial per a referir-se a un cas fàcil d'una demostració, el qual per completitud no pot ser ignorat. Per exemple, les demostracions per inducció matemàtica solen tenir dues parts: una primera part, que mostra que si una propietat és certa per a un cert valor n llavors també és cert per al valor n+1; i una altra part anomenada "cas base" que mostra que la propietat es compleix per a un valor particular, generalment 0 o 1. El "cas base" sol ser trivial i sovint se l'identifica com a tal. Similarment, un podria voler provar que alguna propietat és posseïda per tots els membres d'un conjunt determinat. La part principal de la prova considerarà el cas d'un conjunt no buit, i examinarà els elements detalladament; en el cas on el conjunt estigui buit, la propietat serà posseïda trivialment per tots els elements, atès que no n'hi ha cap.

Etimologia

El terme "trivial" (de trivialis, triviale) deriva de la paraula llatina trivium que era el conjunt de les tres matèries més senzilles (lògica, gramàtica i retòrica) típica de la formació medieval, que eren una preparació per a les matèries més avançades o quadrivium. Així amb el temps "trivial" es va usar per a suggerir que alguna cosa era "introductori" o "senzill".