Usuari:Ketsia23/El·lipsoide

En matemàtiques, i més precisament en geometria euclidiana, un el·lipsoide és una superfície de segon grau de l'espai euclidià de tres dimensions. Forma part doncs de quadriques, amb la característica principal de no tenir un punt a l'infinit.

L'el·lipsoide admet un centre i almenys tres plans de simetria. La intersecció d'un el·lipsoide amb un pla és una el·lipse, un punt o el conjunt buit.

L'equació d'un el·lipsoide centrat a l'origen d'un sistema cartesià i alineat amb els eixos del senyal és de forma

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$

on ha, b i c són paràmetres estrictament positius donats, iguals a la longitud dels semieixos d'aquest el·lipsoide.

Equacions

Equació generalitzada

A un senyal cartesià en tres dimensions, l'equació d'una superfície tetragonal és

on la matriu A és, per construcció, una matriu simètrica real. Segons el teorema espectral, és diagonalitzable i els seus valors nets són tots reals. Si aquests tres valors nets són estrictament positives (o estrictament negatius), és a dir que A és de signatura (3, 0) (o (0, 3)), aquesta equació defineix una quadràtica tipus el·lipsoide. A condició eventualment de canviar tots els coeficients de l'equació pel seu oposat, la matriu A és llavors definida positiva. El determinant d'A no és nul, la quadràtica té un centre les coordenades del qual són

i la seva equació s'escriu sota la forma:

amb

x

T

A

x

+

B

T

x

+

C

=

0

{\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\,\mathbf {x} +B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +C=0}

v

=

−

1

2

A

−

1

B

,

{\displaystyle \mathbf {v} =-{\frac {1}{2}}A^{-1}B,}

(

x

−

v

)

T

A

(

x

−

v

)

=

k

{\displaystyle \left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)^{\mathsf {T}}A\left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)=k}

k

=

1

4

B

T

A

−

1

B

−

C

.

{\displaystyle k={\frac {1}{4}}B^{\mathsf {T}}A^{-1}B-C.}
Plantilla:Démonstration/début Puisque d'une part A est symétrique et que d'autre part tout scalaire est égal à sa matrice transposée, Plantilla:Retrait donc Plantilla:Retrait Or Plantilla:Retrait si (et seulement si) Plantilla:Retrait Plantilla:Démonstration/finSi k és estrictament positiu, l'el·lipsoide (centrat en v i arbitràriament orientat) és llavors el conjunt dels punts x verificant l'equació :

$\left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)^{\mathsf {T}}A_{1}\left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)=1$

on A1 és real, definida positiva.

A més, els vectors nets d'A1 defineixen els eixos de l'el·lipsoide i els valors nets d'A1 són iguals al contrari del quadrat dels semieixos (és a dir 1/a2, 1/b2 i 1/c2). Els valors singulars d'A1, sent iguals als valors nets, són doncs iguals al contrari del quadrat dels semieixos.

Parametrització

Un el·lipsoide pot ser parametritzat de diferents maneres Una de les possibilitats, escollint l'eix z, és la següent :

on

Els paràmetres poden ser vists com de les coordenades esfèriques.

{

x

=

a

cos

⁡

(

θ

)

cos

⁡

(

ϕ

)

y

=

b

cos

⁡

(

θ

)

sin

⁡

(

ϕ

)

z

=

c

sin

⁡

(

θ

)

{\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos(\theta )\cos(\phi )\\y=b\cos(\theta )\sin(\phi )\\z=c\sin(\theta )\end{cases}}}

−

π

/

2

≤

θ

≤

π

/

2

e

t

−

π

≤

ϕ

≤

π

.

{\displaystyle -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2\quad {\rm {et}}\quad -\pi \leq \phi \leq \pi .}

Per a un θ constant, obtenim una el·lipse que és la intersecció de l'el·lipsoide i d'un pla z = k. El paràmetre ϕ correspon llavors a l'anomalia excèntrica d'aquesta el·lipse. Existeix dos altres paramétrisations, cadascuna posseint la seva pròpia interpretació Sols els el·lipsoides de revolució posseeixen una única definició de la latitud reduïda.

Espai projectiu

Plantilla:Référence nécessaireEn geometria projectiva, l'equació d'un el·lipsoide imaginari és de la forma

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}+1=0.$

$I_{xx}={\frac {m}{5}}(b^{2}+c^{2})$

$I_{yy}={\frac {m}{5}}(a^{2}+c^{2})$

$I_{zz}={\frac {m}{5}}(a^{2}+b^{2})$

$I_{xy}=I_{yx}=I_{xz}=I_{zx}=I_{yz}=I_{zy}=0$

Tan ha ≥ b ≥ c (és a dir tan ha és la longitud del més gran semieix i c és la longitud del més petit semieix), l'excentricitat de l'el·lipsoide és donada per la fórmula següent :

e

=

a

2

−

c

2

a

.

{\displaystyle e={{\sqrt {a^{2}-c^{2}}} \over a}.}

Aplicacions

L'el·lipsoide disposa de diverses aplicacions pràctiques com el modeli ellipsoïdal de la Terra que és una figura matemàtica que s'acosta a la forma de la Terra.

Propietats dinàmiques

Un el·lipsoide de densitat uniforme ρ posseeix la massa següent :

$m=\rho V={\frac {4\pi \rho }{3}}abc$

Els moments d'inèrcia al sistema dels eixos principals són :.॥॥

Els productes d'inèrcia són tots nuls a aquest sistema d'eix :.॥॥

Exemples

• El·lipsoide de Fresnel
• El·lipsoide de Bessel
• Figura de la Terra

Referències

[[Categoria:Superfícies quàdriques]] [[Categoria:Superfícies]] [[Categoria:Pàgines amb traduccions sense revisar]]