Usuari:Mcapdevila/Espai arcconnex

En topologia un espai topològic es diu que és connex per arcs o arcconnex si dos elements qualssevol es poden connectar mitjançant una corba homeomorfa l'interval unitat.

Definició

Sigui $(X,{\mathcal {T}})$ un espai topològic. Un arc en X és un embedding $\sigma :[0,1]\longrightarrow X$, és a dir, una aplicació contínua que és un homeomorfisme restringida al seu recorregut $\sigma :[0,1]\longrightarrow \sigma ([0,1])$. Òbviament es pot substituir $[0,1]$ per qualsevol altre interval tancat $[a,b]$, ja que són tots homeomorfs.

Es diu que $(X,{\mathcal {T}})$ és un espai connex per arcs o arcconnex si per a cada parell de punts diferents $x,y\in X$, hi ha un arc $\sigma$ tal que $\sigma (0)=x$ i $\sigma (1)=y$.

Connexió per arcs i per camins

És obvi que tots els espais connexos per arcs són connexos per camins. El recíproc no és en general cert. Com a contraexemple n'hi ha prou de considerar la recta amb dos orígens: Considerem dues còpies de la recta real, $\mathbb {R} \times \{0\}$ i $\mathbb {R} \times \{1\}$. Definim la recta amb dos orígens com l'espai quocient R que s'obté en identificar $(t,0)$ amb $(t,1)$ si $t\neq 0$. Intuïtivament, aquest espai és com la recta real, però té dos orígens (les classes de (0,0) i (0,1)) que són impossibles de separar. Per tant, aquest espai no és de Hausdorff. Més encara, no hi ha cap arc que uneixi tots dos orígens. Per tant R no és arcconnex, però és senzill comprovar que sí que és connex per camins.

Tot i que en general les dues nocions són diferents coincideixen en una de les classes més importants d'espais topològics, els de Hausdorff.

Vegeu també

• Conjunt connex
• Espai connex per camins
• Sinus del topòleg