Usuari:Mcapdevila/Espai connex per camins

En topologia un espai topològic es diu que és un espai connex per camins si dos elements qualssevol es poden connectar mitjançant una corba.

Definició

Sigui $(X,{\mathcal {T}})$ un espai topològic. Una corba en $X$ és una funció contínua $f:[0,1]\longrightarrow X$. (En realitat, pot ser qualsevol interval $[a,b]$, però sempre es pot normalitzar i dur a $[0,1]$).

Es diu que $(X,{\mathcal {T}})$ és un espai connex per camins si i només si: $\forall x,y\in X,\exists f:[0,1]\longrightarrow X$ contínua (és a dir, una corba) tal que $f(0)=x,\,f(1)=y$.

És a dir, en termes intuïtius, si cada parell de punts poden ser units mitjançant una corba, o, dit d'una altra manera, "connectats per un camí" (i d'aquí el nom).

Per $C\subset X$, la definició de connexitat per camins és la mateixa que abans, només que ara demanant que cada parell de punts en $C$ puguin ser connectats per una corba contínua continguda en $C$. Aquesta definició és equivalent a demanar que $C$, dotat de la topologia traça, sigui un espai connex per camins.

Connexió i connexió per camins

Gràfic de la funció sin (1/x), l'adherència és connexa però no connexa per camins

Es compleix que tot espai connex per camins és també connex, però, el recíproc no és cert, és a dir, existeixen espais connexos que no són connexos per camins. Un exemple és la corba sinus del topòleg, que és l'adherència del gràfic de la funció $sin(1/x)$, és a dir, el conjunt $G=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x\in (0,1),y=sin(1/x)\}\cup \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x=0,i\in [-1,1]\}$

Ja que el gràfic de la funció per si sol és connex, la seva adherència també (aquesta propietat sempre es compleix per a conjunts connexos). No obstant això, mai podrem connectar per un camí continua un punt del graf amb un punt del tros de l'eix i pres.

Temes relacionats

• Conjunt connex
• Espai arcconnex
• Sinus del topòleg