Grup compacte

El cercle de centre 0 i radi 1 en el pla complex és un grup de Lie compacte amb multiplicació complexa.

En matemàtiques, un grup compacte (topològic, sovint sobreentès) el  és un grup topològic la topologia del qual és compacta. Els grups compactes són una generalització natural de grups finits amb la topologia discreta. 

D'ara endavant, assumim que tots els grups són espais de Hausdorff.

Grups de Lie compactes

Els grups de Lie formen una classe típica de grups topològics, i els grups de Lie compactes tenen una teoria particularment ben desenvolupada. Els exemples bàsics de grups de Lie compactes inclouen

• El grup de cercle T i el grup del tor Tn,
• Els grups ortogonals O(n), el grup ortogonal especial SO(n) i el grup d'espín Spin(n),
• El grup unitari U(n) i el grup unitari especial SU(n),
• El grup simplèctic Sp(n),
• Les formes compactes dels grups de Lie excepcionals: G2, F4, E6, E7, i E8,

El teorema de classificació dels grups de Lie compactes declara que aquesta llista d'exemples cobreix, pel que fa a extensions i cobertures finites,  tots els casos (incloent-hi algunes redundàncies).

Classificació

Sigui G un grup de Lie compacte, i G0 la seva component d'identitat amb la qual és connectat, el grup dee quocient G/G0 és el grup de components π0(G) que ha de ser finit car G és compacte. Per tant, tenim una extensió finita

$1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1.\,$

Ara cada grup de Lie compacte i connex G0 té una cobertura finita

$1\to A\to {\tilde {G}}_{0}\to G_{0}\to 1\,$

on A és un grup abelia finit i G és el producte d'un torus i un grup de Lie compacte senzillament connex K:$A\subset Z({\tilde {G}}_{0})$${\tilde {G_{0}}}$

${\tilde {G}}_{0}\cong \mathbb {T} ^{m}\times K.$

Finalment, cada grup de Lie K, compacte i simplement connex, és el producte de grups de Lie simples, compactes i simplement connexos, Ki cadascú del qual és isomorf exactament a un d'aquests casos:

• Sp(n), n ≥ 1
• SU(n), n ≥ 3
• Espín(n), n ≥ 7

* G2, F4, E6, E7, i E8

Mesura de Haar

Tots els grup compactes tenen una mesura de Haar, que és invariant respecte a translacions esquerra i dreta . En altres paraules, aquests grups són unimodulars. La mesura de Haar és fàcilment normalitzada per esdevenir una mesura de probabilitat, anàlega a dθ/2π al cercle.

Teoria de representació

La teoria de representació de grups compactes va ser fundada pel  teorema de Peter–Weyl . Hermann Weyl la va completar detallant la teoria de caràcter dels grups de Lie connexos compactes, basats en la teoria del tor màxim torus. La fórmula de caràcter de Weyl resultant ha estats un dels resultats influents de les matemàtiques de segle XX.