Corba de Sierpiński

La corba de Sierpiński és una seqüència definida de forma recursiva d'una corba fractal contínua que en el límit $n\rightarrow \infty$ omple completament el quadrat unitari. Per tant, la corba límit és un exemple de corba de Peano, és a dir, una corba de recobriment del pla. Va ser descoberta pel matemàtic Wacław Sierpiński. La corba original a vegades també s'anomena floc de neu quadrat de Sierpiński.

Degut a que la corba té aquesta propietat de recobriment del pla, la seva dimensió de Hausdorff-Besicovich al límit $n\rightarrow \infty$ és 2.

La distància euclidiana de $S_{n}$ és

$l_{n}={2 \over 3}(1+{\sqrt {2}})2^{n}-{1 \over 3}(2-{\sqrt {2}}){1 \over 2^{n}}$

és a dir, creix de forma accelerada amb $n$ més enllà de qualsevol límit, mentre que el límit per $n\rightarrow \infty$ de l'àrea tancada per $S_{n}$ és $5/12\,$ la del quadrat (en mètrica euclidiana).

Procediment

• 
  Figura inicial
• 
  Primer ordre
• 
  Segon ordre
• 
  Tercer ordre
• 
  Quart ordre
• 
  Cinquè ordre

Vegeu també

• Triangle de Sierpiński
• Corba de Peano
• Corba de Hilbert
• Floc de neu de Koch
• Fractals per dimensió de Hausdorff
• Algorisme recursiu

Bibliografia

• Peitgen, H.-O.; Jürgens, H.; Saupe, D. [1992]. Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. Springer, 2013. ISBN 978-1-4757-4740-9. 
• Stevens, Roger T. Fractal Programming in C. M&T Books, 1989. ISBN 9781558510371. 

Enllaços externs

• Mathworld - Sierpinski Curve (anglès)