Teorema de convolució: diferència entre les revisions
#QQ23 |
Bibliografia #QQ23 |
||
Línia 59: | Línia 59: | ||
== Referències == |
== Referències == |
||
{{referències}} |
{{referències}} |
||
== Bibliografia addicional == |
|||
*{{citation |first=Yitzhak |last=Katznelson |title=An introduction to Harmonic Analysis|year=1976|publisher=Dover |isbn=0-486-63331-4}} |
|||
*{{citation |first1=Bing |last1=Li |first2=G. Jogesh |last2=Babu |chapter=Convolution Theorem and Asymptotic Efficiency |title=A Graduate Course on Statistical Inference |location=New York |publisher=Springer |year=2019 |isbn=978-1-4939-9759-6 |pages=295–327 }} |
|||
*{{citation |last=Crutchfield |first=Steve |url=http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html |title=The Joy of Convolution |work=Johns Hopkins University |date=October 9, 2010 |access-date=November 19, 2010}} |
|||
{{ORDENA:Teorema De Convolucio}} |
{{ORDENA:Teorema De Convolucio}} |
Revisió del 16:04, 28 des 2023
En matemàtica, el teorema de convolució estableix que en determinades circumstàncies, la Transformada de Fourier d'una convolució és el producte punt a punt de les transformades de Fourier.[1] En altres paraules, la convolució en un domini (per exemple el domini temporal) és equivalent al producte punt a punt en l'altre domini (és a dir domini espectral).[2]
Siguin f i g dues funcions la convolució s'expressa amb . (Nota: l'asterisc en aquest context, indica convolució i no multiplicació, de vegades s'utilitza també el símbol ). Sigui l'operador de la transformada de Fourier, de manera que i són les transformades de Fourier de f i g , respectivament.
Llavors
on "·" indica producte punt. També es pot afirmar que:
Aplicant la transformada inversa de Fourier , podem escriure:
Demostració
La demostració funciona per normalitzacions unitàries i no unitàries de la transformada de Fourier, però en la versió unitària té factors extres de que aquí, són inconvenients. Siguin
Siguin la transformada de Fourier de i la transformada de Fourier de :
- .
Sigui la convolució de i
Nota:
Pel teorema de Fubini tenim que , així que la seva transformada de Fourier està definida.
Sigui la transformada de Fourier de :
Tenint en compte que i gràcies a l'argument d'abans podem aplicar novament el teorema de Fubini:
Substituint ; tenim , i per tant:
Aquestes dues integrals són les definicions de i , així que:
Que és el que volíem demostrar.
Referències
- ↑ O'Shea, Donald C.; Suleski, Thomas J.; Kathman, Alan D.; Prather, Dennis W. Diffractive Optics: Design, Fabrication, and Test (en anglès). SPIE Press, 2004. ISBN 9780819451712 [Consulta: 26 desembre 2021]. «The convolution theorem states that the Fourier transform of the convolution of two functions is equal to the product of the Fourier transform of the individual functions.»
- ↑ Norton, Robert L. Cam Design and Manufacturing Handbook (en anglès). Industrial Press Inc., 2009. ISBN 9780831133672 [Consulta: 26 desembre 2021]. «The significance of this relationship is that a complicated mathematical operation (convolution) in the time domain can be accomplished by first Fourier transforming the functions to the frequency domain and then performing a simple operation: multiplication.»
Bibliografia addicional
- Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to Harmonic Analysis, Dover, ISBN 0-486-63331-4
- Li, Bing & Babu, G. Jogesh (2019), "Convolution Theorem and Asymptotic Efficiency", A Graduate Course on Statistical Inference, New York: Springer, pàg. 295–327, ISBN 978-1-4939-9759-6
- Crutchfield, Steve (October 9, 2010), The Joy of Convolution, <http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html>. Consulta: November 19, 2010