Autocovariància

En teoria i estadística de probabilitats, donat un procés estocàstic, l'autocovariància és una funció que dóna la covariància del procés amb si mateix en parells de punts de temps. L'autocovariància està estretament relacionada amb l'autocorrelació del procés en qüestió.

Autocovariància de processos estocàstics

Amb la notació habitual $\operatorname {E}$ per a l'operador d'expectativa, si el procés estocàstic $\left\{X_{t}\right\}$ té la funció mitjana $\mu _{t}=\operatorname {E} [X_{t}]$, aleshores l'autocovariància ve donada per

$\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} \left[X_{t_{1}},X_{t_{2}}\right]=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}X_{t_{2}}]-\mu _{t_{1}}\mu _{t_{2}}$ (Eq.1)

on $t_{1}$ i $t_{2}$ són dos casos en el temps.

Propietats

Propietat de simetria

$\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1})}}$

respectivament per a un procés WSS:

$\operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}$

Filtrat lineal

L'autocovariància d'un procés filtrat linealment $\left\{Y_{t}\right\}$

$Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,$

és

$K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l).\,$

Referències