Constant d'Embree-Trefethen

En matemàtiques, i en particular en teoria dels nombres, la costant d'Embree-Trefethen és un valor llindar d'una successió particular definida per recurrència i s'indica amb una β* ≈ 0.70258.

Més precisament, donat el nombre real β, es considera la successió recurrent

$x_{n+1}=x_{n}\pm \beta x_{n-1}\,$

on es tria el signe de la suma a l'atzar per a cada n independentment i amb probabilitat igual per "+" que per "-". Això és una generalització de la sèrie aleatòria de Fibonacci amb valors de β ≠ 1.

Es pot demostrar que per tot valor de β, el límit

$\sigma (\beta )=\lim _{n\to \infty }(|x_{n}|^{1/n})\,$

existeix quasi segurament. Informalment, la successió es comporta exponencialment amb probabilitat 1, i σ(β) pot ser interpretat com la seva taxa de creixement exponencial.

Es defineix β* ≈ 0.70258 com el valor llindar pel qual:

σ(β) < 1 for 0 < β < β* ,

per tant la solució d'aquesta successió recurrent decau exponencialment a mesura que n → ∞ amb probabilitat 1, i

σ(β) > 1 for β > β* ,

llavors, les solucions creixen exponencialment.

Considerant els valors de σ, es té:

• σ(1) = 1.13198824... (constant de Viswanath), i
• σ(β*) = 1 (per definició).

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Random Fibonacci Sequence» a MathWorld (en anglès).