Constant dels inversos de Fibonacci

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La constant dels inversos de Fibonacci , o ψ, es defineix com la suma dels inversos dels nombres de Fibonacci:

 \Psi = \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{F_k}= \frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{13}+\cdots.

La raó entre dos termes consecutius d'aquesta suma tendeix a l'invers del nombre auri. Com que aquest nombre és menor que 1, el criteri de d'Alembert estableix que la suma convergeix.

Se sap que ψ és aproximadament igual a

 \Psi \approx 3.359885666243177553172011302918927179688905133731 \dots. [1]

No es coneix una fórmula tancada que doni el valor de ψ, però Gosper descriu un algorisme per obtenir una aproximació ràpida del seu valor.[2] De fet ψ és irracional, i aquesta propietat va ser conjecturada per Paul Erdős, Ronald Graham i Leonard Carlitz, i comprovada el 1989 per Richard André-Jeannine.[3]

La representació d'aquesta constant en fracció contínua és:

 \Psi = [3; 2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6, 30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2, \cdots] \! \,. [4]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. (successió [{{fullurl:OEIS:{{{id}}}}} {{{id}}}] a l'OEIS)
  2. La sèrie dels inversos dels nombres de Fibonacci proporciona una precisió de O ( k ) xifres per a la suma de k termes, mentre que la sèrie accelerada de Gosper proporciona O ( k 2 ) xifres..
  3. (successió [{{fullurl:OEIS:{{{id}}}}} {{{id}}}] a l'OEIS)