Constant dels inversos de Fibonacci

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La constant dels inversos de Fibonacci , o ψ, es defineix com la suma dels inversos dels nombres de Fibonacci:

 \Psi = \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{F_k}= \frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{13}+\cdots.

La raó entre dos termes consecutius d'aquesta suma tendeix al invers del nombre auri. Com que aquest nombre és menor que 1, el criteri de d'Alembert estableix que la suma convergeix.

Se sap que ψ és aproximadament igual a

 \Psi \approx 3.359885666243177553172011302918927179688905133731 \dots. [1]

No es coneix una fórmula tancada que doni el valor de ψ, però Gosper descriu un algorisme per obtenir una aproximació ràpida del seu valor. [2] De fet ψ és irracional, i aquesta propietat va ser conjecturada per Paul Erdős, Ronald Graham i Leonard Carlitz, i comprovada el 1989 per Richard André-Jeannine. [3]

La representació d'aquesta constant en fracció contínua és:

 \Psi = [3; 2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6, 30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2, \cdots] \! \,. [4]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. (successió [{{fullurl:OEIS:{{{id}}}}} {{{id}}}] a l'OEIS)
  2. La sèrie dels inversos dels nombres de Fibonacci proporciona una precisió de O ( k ) xifres per a la suma de k termes, mentre que la sèrie accelerada de Gosper proporciona O ( k 2 ) xifres..
  3. (successió [{{fullurl:OEIS:{{{id}}}}} {{{id}}}] a l'OEIS)