Siguin i dues funcions, es diu que aquestes dues funcions tenen contacte d'ordre superiror a en un punt, , si la funció és un infinitèsim d'ordre superior a quan . És a dir,
o, de manera equivalent,
Siguin i dues funcions que tenen contacte d'ordre superior a en el punt , aleshores també direm que la funció és una aproximació d'ordre superor a de la funció en el punt .
Condicions necessàries i suficients pel contacte de dues funcions[modifica]
Un teorema que ens dona una condició necessària i suficient per poder afirmar que dues funcions i tenen contacte d'ordre superior a és:
"Siguin i dues funcions vegades derivables en el punt , aquestes funcions tenen un contacte d'ordre superior a en aquest punt si i només si[1] per qualsevol valor de ."
Demostració
:
Primer cal notar que si és una funció vegades derivable, aleshores les funcions existeixen i són contínues en algun entorn del punt . I, per tant, les funcions són dervables en algun entorn del mateix punt. ( podria no ser derivable en cap entorn ja la nostra hipòtesi només demana que sigui derivable en el punt , no que existèixi la funció .)
A continuació hem de notar que, si dues funcions tenen un contacte d'ordre superior a en un punt, aleshores tenen un contacte d'ordre superior a en aquest punt.
Demostrem primer que es compleix per . Suposem les funcions i vegades derivables en el punt i que tenen un contacte d'ordre superior a 0. Aleshores:
On hem fet servir que, per continuïtat . Suposem ara que l'enunciat és cert per a , demostrem que aleshores és cert per a . Per hipòtesi i tenen contacte d'ordre superior a . És a dir,
Però això vol dir, com hem vist abans, que i tenen contacte d'ordre superior a i, per tant, . I, en concret . Per tant el límit anterior és , aplicant les regles de L'Hôpital tenim:
Aplicant Hôpital de nou (reiteradament):
Queda així demostrat l'enunciat per a tot . Falta demostra-ho també quan . Començem igual que le raonament anterior:
Aquí no és possible tornar a aplicar Hôpital, ja que aquesta regla només és aplicable quan, tant el numerador com el denominador, són derivables en algun entorn del punt , i com s'ha vist, no té perquè ser-ho. Tot i així, com que ja hem demostrat que ,és possible calcular aquest límit de la següent manera:
Però aquest última expressió és, per definició
Suposem que , aleshores ja hem vist que, per Hôpital.
Per tant, les funcions i tenen contacte superior a .