Densitat espectral

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Per a altres significats vegeu «densitat (desambiguació)».
DEP d'un senyal aleatori a la banda de 0 kHz-20 kHz estimada mitjançant el mètode de Welch.

A matemàtiques i en física, la Densitat Espectral (Spectral Density) d'un senyal és una funció matemàtica que ens informa de com està distribuïda la potència o l'energia (segons el cas) d'aquest senyal sobre les diferents freqüències de les que està formada, és a dir, el seu espectre.

La definició matemàtica de la densitat espectral (DE) és diferent depenent de si es tracta de senyals definits en energia, i en aquest cas es parla de densitat espectral d'energia (DEE), o en potència, en aquest cas parlem de densitat espectral de potència (DEP).

Encara que la densitat espectral no és exactament el mateix que l'espectre d'un senyal, de vegades tots dos termes s'usen indistintament, la qual cosa, en rigor, és incorrecte.

Definició matemàtica[modifica | modifica el codi]

Per al cas de senyals definits en energia[modifica | modifica el codi]

Un senyal  x (t) és definit en energia si la seva energia mitjana és finita, ie, 0 <E_x <\infty i per tant, la seva potència mitjana és zero. Una altra manera de dir el mateix és si la integral del seu valor absolut al quadrat existeix i és finita.

La seva DEE és

 S_{xx}(f) = \left|X (f) \right|^2 expressat en [J/Hz]

on  X (f) és la Transformada de Fourier de  x (t) , la integral d'aquesta funció en tot l'eix  f és el valor de l'energia total del senyal  x (t)

 E = \int_{- \infty}^{+\infty}s_{xx}(f) df

Per al cas de senyals definits en potència[modifica | modifica el codi]

Un senyal  x (t) és definit en potència si la seva potència mitjana és finita, ie,  0 <P_x <\infty i per tant, la seva energia mitjana és infinita,  E_x=\infty.

La DEP es calcula utilitzant el teorema de Wiener-Khinchin el qual relaciona la DEP amb la transformada de Fourier de la funció de autocorrelació

 S_{xx}(f) = \mbox{TF} \left \{r_{xx}(\tau) \right \}= \int_{- \infty}^{\infty}\, r_{xx}(\tau) \, e^{-2 \pi \, if \tau}\, d \tau expressat en [W/Hz]

on  \mbox{TF} vol dir Transformada de Fourier i  r_{xx} és la funció d'autocorrelació de  x (t) .

El valor  s_{xx}(0) és la potència de la component contínua (DC) del senyal. La integral d'aquesta funció en tot l'eix  f és el valor de la potència total del senyal  x (t)

 P = \int_{- \infty}^{+\infty}s_{xx}(f) df

Usant el concepte de correlació creuada és possible definir també la densitat espectral creuada .

 S_{xi}(f) = \mbox{TF} \left \{r_{xy}(\tau) \right \}


Nota: En realitat, la definició de la DEP serveix també pels senyals definits en energia, que serien un cas particular. En aquest cas la transformada de Fourier de l'autocorrelació seria simplement la transformada de Fourier al quadrat, és a dir, la DEE.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Relatives als sistemes lineals i invariants amb el temps[modifica | modifica el codi]

En un sistema lineal i invariant amb el temps en què  x (t) és l'entrada,  h (t) la resposta a l'impuls i  i (t) la sortida del sistema. Tenim les següents propietats:

 M_y = m_x \cdot H (0)
 S_{ii}(\omega) = s_{xx}(\omega) \cdot|H (\omega)|^2
 S_{xy}(\omega) = s_{xx}(\omega) \cdot H^* (\omega)
 S_{ix}(\omega) = s_{xi}^* (\omega) = s_{xx}(\omega) \cdot H (\omega)

on  m_y és la mitjana de  i (t) i  s_{xi} és la densitat espectral creuada entre  x (t) i  i (t)

Suma de processos[modifica | modifica el codi]

En general, la Densitat Espectral de la suma NO és suma de Densitats espectrals. Això només és cert si tots dos processos no estan correlacionats. En general, si tenim:

 Z (t) = x (t)+y (t)

on  x (t) y  y (t) són conjuntament estacionaris, aleshores

 R_{zz}(\tau) = r_{xx}(\tau)+r_{yy}(\tau)+r_{xy}(\tau)+r_{yx}(\tau) \,
 S_{zz}(\omega) = s_{xx}(\omega)+s_{yy}(\omega)+s_{xy}(\omega)+s_{yx}(\omega) \,
 S_{zz}(\omega) = s_{xx}(\omega)+s_{yy}(\omega)+s_{xy}(\omega)+s_{xy}^* (\omega) \,
 S_{zz}(\omega) = s_{xx}(\omega)+s_{yy}(\omega)+2 \mbox{Re} \left [s_{xy}(\omega) \right]

Estimació de la densitat espectral[modifica | modifica el codi]

Un problema molt comú i amb grans aplicacions pràctiques en processament de senyals és el d'estimar la densitat espectral de potència d'un senyal aleatori estacionari. Diem "estimar" ja que, com el senyal és un procés estocàstic (estacionari) donada la naturalesa estocàstica del mateix no és possible determinar amb absoluta precisió la seva DEP llevat que disposem d'un registre de senyal infinit, la qual cosa no és possible.

Les tècniques d'estimació es divideixen en dos grans grups:

  • No paramètriques. Estan basades sempre d'una o altra manera en el càlcul del periodograma. Calcular la transformada de Fourier (en un ordinador és la DFT) d'un registre de senyal per estimar el seu espectre és un exemple de tècnica no paramètrica.
  • Paramètriques. Consisteixen en suposar un determinat model per al procés estocàstic (models AR, MA, ARMA, etc) i en l'estimació dels paràmetres d'aquests models mitjançant tècniques de predicció lineal (filtratge lineal òptim) o altres mètodes.

Sobre els processos estocàstics no estacionaris[modifica | modifica el codi]

La DE només està matemàticament ben definida en el cas de senyals amb una funció d'autocorrelació estacionària, ie, que no depengui de la posició de les variables aleatòries que componen el procés sinó només de la distància entre elles. És a dir, la DE només està ben definida per al cas de senyals deterministes i senyals aleatoris estacionaris.

Un procés aleatori no estacionari que és estacionari a trossos es diu quasi-estacionari i és possible definir la DEP en cada un d'aquests trossos. Per estimar la DEP en aquest tipus de processos del normal des d'un mètode d'estimació espectral paramètric adaptatiu (per exemple mitjançant un model AR i l'algorisme LMS per identificar el model AR).

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

  • Intuïtivament, la Densitat Espectral serveix per identificar periodicitats amagades en una funció de variable contínua o de variable discreta (seqüència de números)
  • Estimar l'entropia d'un procés aleatori (els senyals deterministes òbviament no tenen entropia). Com més plana és la DEP d'un senyal aleatori, més entropia conté. Un senyal aleatori en què la DEP sigui perfectament plana s'anomena soroll blanc, no conté redundància i per tant no pot ser comprimit (sense pèrdues).
  • Un cop coneguda la seva entropia, comprimir amb o sense pèrdues un senyal d'àudio o vídeo (còdecs FLAC/MP3/OGG, DIVX/Theora/etc) o restaurar les seves propietats.
  • Proporciona informació molt valuosa sobre la dinàmica interna de molts sistemes físics. Serveix per identificar elements o compostos químics (espectroscòpia). També serveix per a la identificació de models matemàtics lineals en teoria de control

Referències[modifica | modifica el codi]

  • "Tratamiento digital de señales. Principios, algoritmos y aplicaciones". John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis. Prentice Hall, ISBN 0-13-373762-4