Idempotència

La idempotència és la propietat per realitzar una acció determinada diverses vegades i tot i així aconseguir el mateix resultat que s'obtindria si es realitzés una sola vegada. Un element que compleix aquesta propietat és un element idempotent, o un idempotent. D'aquesta manera, si un element a multiplicar-se per si mateix successives vegades dóna ell mateix, aquest element és idempotent. Per exemple, els dos únics nombres reals que són idempotents, per l'operació producte (·), són 0 i 1. (0,0 = 0,1 · 1 = 1).

Formalment, si $S$ és un magma, és a dir, un conjunt amb una operació binària $*$, llavors un element < math> s \in S </math> es diu idempotent si $s * s = s$. Si tot $s$ és idempotent sota $*$, llavors l'operació en si es denominaria operació idempotent.

En particular, qualsevol element identitat és un idempotent baix * .

En àlgebra conjuntista, les operacions d'unió i intersecció de conjunts són idempotents. En efecte, la unió o intersecció d'un conjunt amb si mateix, lliuren com a resultat el conjunt mateix.

Anàlogament, en àlgebra booleana, els operadors I ( and , $\land$) i O ( or , $\lor$) són idempotents. En efecte, si V = Veritable , F = Fals : $\mbox{V}\land \mbox{V}= \mbox{V}, \; \; \mbox{V}\lor \mbox{V}= \mbox{V}$. Anàlogament per F .

En àlgebra lineal, la projecció és idempotent. És a dir, qualsevol matriu que projecta tots els vectors sobre un subespai V (no necessàriament ortogonalment) és idempotent, si V mateix està fix punt per punt.

Una funció $f$ d'un conjunt $M$ a si mateix es diu idempotent si es compleix que per a la composició de funcions, $f \circ f = f$, és a dir: $\forall x \in M, \; f (f (x)) = f (x)$, és a dir: Això és equivalent a dir que $f (x) = x$, també per a tot x a f ( M ).
Exemples trivials de funcions idempotents en S són la funció identitat i les funcions constants. Exemples menys trivials són el valor absolut i la funció que assigna a cada subconjunt U d'un cert espai topològic X la clausura de U . L'última és una funció idempotent al conjunt de parts de X . És un exemple de operador de cloenda, tots els operadors de cloenda són funcions idempotents.

Un anell en el qual la multiplicació és idempotent ($x \times x = x$) es diu anell de Boole. Pot ser demostrat que en cada tal anell, la multiplicació és commutativa, i cada element és el seu propi invers additiu.