Llei de Poiseuille

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La llei de Poiseuille o llei de Hagen-Poiseuille, pels experiments duts a terme per Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen, (1797 - 1884) el 1839) és la llei que permet determinar el flux laminar estacionari Φ V d'un líquid incompressible i uniformement viscós (també anomenat fluid newtonià) a través d'un tub cilíndric de secció circular constant. Aquesta equació va ser derivada experimentalment el 1838, formulada i publicada el 1840 i 1846 per Jean Louis Marie Poiseuille (1797 - 1869). La llei és també molt important en hemodinàmica. La llei de Poiseuille va ser estesa el 1891 per flux turbulent per L. R. Wilberforce, basant-se en el treball de Hagenbach.

La llei queda formulada la següent manera:

 \phi _{V}={dV \over dt}= v_{mitjana}\pi r^{2}={\pi r^{4}\over 8 \eta} \left (-{d P \over dz}\right) ={\pi r^{4}\over 8 \eta}{\Delta P \over L}\;,

on V és el volum del líquid que circula en la unitat de temps t , v mitjana la velocitat mitjana del fluid al llarg de l'eix z del sistema de coordenades cilíndric, R és el radi intern del tub, Δ p és la caiguda de pressió entre els dos extrems, η és la viscositat dinàmica i L la longitud característica al llarg de l'eix z . La llei es pot derivar de l'equació de Darcy-Weisbach, desenvolupada en el camp de la hidràulica i que d'altra banda és vàlida per a tot tipus de flux. La llei de Hagen-Poiseuille es pot expressar també la següent manera:

 \Lambda ={64 \over{\it Re}}\;, \quad \quad Re ={2 \rho v_{s}R \over \eta}\;,

on Re és el nombre de Reynolds i ρ és la densitat del fluid. En aquesta forma la llei aproxima el valor del factor de fricció , l'energia dissipada per la pèrdua de càrrega , el factor de pèrdua per fricció o el factor de fricció de Darcy λ en flux laminar a molt baixes velocitats en un tub cilíndric. La derivació teòrica de la fórmula original de Poiseuille va ser realitzada independentment per Wiedman el 1856 i Neumann i E. Hagenbach el 1858 (1859, 1860). Hagenbach fou el primer que la va denominar com a llei de Poiseuille.

Càlcul[modifica | modifica el codi]

Il·lustració de la llei de Poiseuille

Si es considera una canonada horitzontal de radi R constant i dins d'ella dues seccions transversals 1 i 2 separades una distància L. Aquestes seccions delimiten un tros de canonada que a la imatge adjunta queda delimitada pels punts ABCD. Dins de la canonada indicada considerem al seu torn un cilindre coaxial delimitat pels punts abcd amb àrea de tapes A = π r 2 i ràdio r. A causa de la viscositat del fluid, sobre aquest cilindre actua un esforç tallant Que anomenarem T provocat per una força tallant F sobre una àrea longitudinal A L = 2π r L. Aquesta força és igual a  F = p_1 A - p_2 A tindrà un sentit esquerre - dreta igual al desplaçament del fluid, provocat per un gradient de pressió en la qual p 1 és major que p 2 (no guiar-se pel dibuix adjunt, encara no vaig trobar la manera de canviar-). Integrant les forces que actuen sobre el cilindre considerat, s'obté l'expressió de la llei de Poiseuille.

D'acord amb la primera llei de Newton, si p 1 i p 2 són les pressions aplicades en el centre de gravetat de l'àrea transversal del cilindre en les seccions 1 i 2 hem de:

 P_1 A - p_2 A+F = 0

En un sòlid l'esforç de tall és proporcional a la deformació, però un fluid es deforma contínuament mentre s'apliqui l'esforç, per tant l'esforç de tall serà proporcional a la velocitat de tall per una constant anomenada viscositat , és a dir: {F \over A_L}= \eta{dv \over dr}

Substituint el valor de la superfície A L per 2 π r L i aïllant F ens queda  F = 2 \pi r L \eta{dv \over dr}


Substituïm:

 P_1 \pi r^2 - p_2 \pi r^2+2 \pi r L \eta{dv \over dr}= 0

Simplificant queda:

 \Pi r^2 \Delta p = -2 \pi r L \eta{dv \over dr}
 R \Delta p = -2 L \eta{dv \over dr}

Amb el que:

 Dv = -{\Delta p \over 2 L \eta}r dr

Integrant aquesta equació:

 V = -{\Delta p \over 4 L \eta}r^2+C

El valor de la constant C queda determinada per les condicions en els límits. És a dir quan r = R llavors v = 0. Pel que:

 C ={\Delta p \over 4 L \eta}R^2

Substituint el valor de C en l'equació inicial hem de:

 V ={\Delta p \over 4 L \eta} \left (R^2 - r^2 \right)

Aquesta equació dóna la distribució de velocitats en una canonada. Com es pot observar, el terme del radi elevat al quadrat indica que es tracta d'un paraboloide, on la velocitat màxima s'obté en l'eix del mateix i que coincideix amb l'eix de la canonada. Zona on els efectes del fregament amb les parets de la canonada és mínima. L'expressió de la velocitat màxima queda de la manera següent:

 V_{max}={\Delta p \over 4 L \eta}R^2

A la pràctica és més senzill mesurar la velocitat mitjana que la velocitat màxima. L'expressió de la velocitat mitjana és la següent:

 V_{mitjana}={Q \over \pi R^2}

Per calcular el cabal a la canonada anem a considerar un anell diferencial de gruix dr entre dues circumferències concèntriques amb l'eix de la canonada i ràdios r i r+dr . En aquest cas l'expressió del cabal queda:

 DQ = 2 \pi r dr v

Substituint l'expressió de la velocitat calculada anteriorment hem de:

 DQ = 2 \pi r dr{\Delta p \over 4 L \eta} \left (R^2 - r^2 \right)

Integrant l'equació anterior entre els límits 0 i R podrem calcular el cabal total:

Q = \int_{0}^{R} \ dQ = \int_{0}^{R} 2 \pi r dr {\Delta p \over 4 L \eta} \left(R^2 - r^2 \right)\ dr =
= {\pi \Delta p \over 2 L \eta}\int_{0}^{R} \left(R^2 - r^2 \right) r\ dr = {\pi \Delta p \over 2 L \eta} \left({R^4 \over 2} - {R^4 \over 4} \right)

i finalment obtenim l'expressió de la llei de Poiseuille per al cabal:

 Q ={\Delta p \pi R^4 \over 8 L \eta}

si seguim treballant sobre aquesta fórmula i substituïm aquesta expressió del cabal en la fórmula anterior de la velocitats mitjana obtenim el següent:

 V_{mitjana}={Q \over \pi R^2}={\Delta p^2 \over 8 L \eta}={\Delta p D^2 \over 32 L \eta}

d'on es dedueix que:

 V_{mitjana}={v_{max}\over 2}

buidant la pèrdua de pressió en les anteriors equacions obtenim:

 \Delta p ={32 \eta L v_{mitjana}\over D^2}

que no deixa de ser una altra expressió de la llei de Poiseuille per la pèrdua de pressió en una canonada de secció constant amb flux laminar.

Si dividim i multipliquem el segon membre de l'equació anterior per l'expressió  2 \rho v_{mitjana}g tenim que:

 \Delta p ={32 \eta L v_{mitjana}\over D^2}{2 \rho v_{mitjana}g \over 2 \rho v_{mitjana}g}={64 \eta \over v_{mitjana}D \rho}{l \over D}{v_{mitjana}^2 \over 2 g}\rho g =

on {\Delta p \over \rho g}= h_f és la pèrdua de càrrega i  Re ={v_{mitjana}D \rho \over \eta} és l'expressió del nombre de Reynolds, de manera que la pèrdua de càrrega queda expressada de la manera:

 H_f ={64 \over Re}{l \over D}{v_{mitjana}^2 \over 2 g}

comparant aquesta última expressió amb l'equació de Darcy-Weisbach es dedueix el valor de  \lambda :

 \Lambda ={64 \over{\it Re}}

sent aquesta altra expressió de l'equació de Hagen-Poiseuille.

Curiositat[modifica | modifica el codi]

La llei en si mateixa mostra com d'interessant és aquest camp, atès que l'equació de Darcy-Weisbach hauria de ser denominada completa i pròpiament com equació de Chézy - Weisbach - Darcy - Poiseuille - Hagen - Reynolds - Fanning - Prandtl - Blasius - von Karman - Nikuradse - Colebrook - White - Rouse - Moody o abreujadament com CWDPHRFPBKNCWRM.

Noteu també com en la fórmula el flux depèn fortament del radi. Si la resta de factors roman constant, el doblar el radi del canal dóna com a resultat un increment en 16 vegades del flux.

Relació amb els circuits elèctrics[modifica | modifica el codi]

L'electricitat va ser originalment entesa com una classe de fluid. Aquesta analogia hidràulica és encara útil en l'àmbit acadèmic amb finalitats didàctiques.

La llei de Poiseuille es correspon amb la llei d'Ohm per als circuits elèctrics, on la caiguda de pressió Δ p * és reemplaçada pel voltatge V i el cabal Φ V per la corrent elèctric I . D'acord amb això el terme 8η Lr 4 és un substitut adequat per a la resistència elèctrica R .

Relació amb el pulmó[modifica | modifica el codi]

La llei de Poiseuille té aplicació en la ventilació pulmonar en descriure l'efecte que té el radi de les vies respiratòries sobre la resistència del flux d'aire en direcció als alvèols. D'aquesta manera, si el radi dels bronquiols es reduís a la meitat, la llei de Poiseuille prediu que el cabal d'aire que passa per aquest bronquíol reduït hauria de oposar-se a una resistència 16 vegades més gran, sent que la resistència al flux és inversament proporcional al radi elevat a la quarta potència.[1]

Aquest principi cobra importància en l'asma i altres malalties obstructives del pulmó. En reduir el radi de les vies aèries respiratòries, l'esforç de la persona s'eleva a la quarta potència.

Referències[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Llei de Poiseuille Modifica l'enllaç a Wikidata
  1. Infermeria en Cures Crítics Pediàtrica i Neonatal. «Recuerdo anatomo-fisiológico del Aparato Respiratorio».