Matriu de correlació creuada

La matriu de correlació creuada de dos vectors aleatoris és una matriu que conté com a elements les correlacions creuades de tots els parells d'elements dels vectors aleatoris. La matriu de correlació creuada s'utilitza en diversos algorismes de processament de senyals digitals.

Per a dos vectors aleatoris $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}$ i $\mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}$, cadascun dels quals conté elements aleatoris el valor esperat i la variància dels quals existeixen, la matriu de correlació creuada de $\mathbf {X}$ i $\mathbf {Y}$ es defineix per

$\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]$

i té unes dimensions $m\times n$. Escrit per components:

$\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\\\\\end{bmatrix}}$

Els vectors aleatoris $\mathbf {X}$ i $\mathbf {Y}$ no cal que tinguin la mateixa dimensió, i també poden ser un valor escalar.

Exemple:

Per exemple, si $\mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}$ i $\mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)^{\rm {T}}$ són vectors aleatoris, llavors $\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }$ és una matriu $3\times 2$ on $(i,j)$ representa $\operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]$.