Model de Kronig-Penney

L'any 1931, per il·lustrar el comportament dels electrons en un potencial periòdic, R. de L. Kronig i W. G. Penney van considerar un potencial quadrat unidimensional que s'aproximés als potencials que es troben a la pràctica i permetés obtenir una solució exacta de l'equació de Schrödinger. Aquest potencial té un període $a+b$ i consisteix en pous quadrats, distribuïts de tal manera que l'energia potencial $V(x)$ de l'electró és igual a zero quan $0<x<a$, i és igual a $V_{0}$ quan $-b<x<0$.

La funció d'ona de l'electró satisfà l'equació de Schrödinger per a tot $x\in \mathbb {R}$:

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\,[E-V(x)]\,\psi =0$$

és a dir:

$${\begin{array}{ll}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}+{\cfrac {2mE}{\hbar ^{2}}}\,\psi =0&{\text{per a }}0<x<a\\{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}+{\cfrac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}\,\psi =0&{\text{per a }}-b<x<0\end{array}}$$

Segons el teorema de Bloch, la funció d'ona d'un electró en un potencial unidimensional de període $a+b$ es pot expressar com una funció de Bloch de la forma

$$\psi (x)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx}\,u(x)$$

on $u(x)=u(x+a+b)$.

Considerem el cas en què $E<V_{0}$. Si definim les constants $\alpha$ i $\beta$ com $\alpha ^{2}=2mE/\hbar ^{2}$ i $\beta ^{2}=2m(V_{0}-E)/\hbar ^{2}$ i substituïm la funció de Bloch a l'equació de Schrödinger, s'obtenen les equacions diferencials següents:

$${\begin{array}{ll}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}+2\mathrm {i} k\,{\cfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}+(\alpha ^{2}-k^{2})\,u=0&{\text{per a }}0<x<a\\{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}+2\mathrm {i} k\,{\cfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}-(\beta ^{2}+k^{2})\,u=0&{\text{per a }}-b<x<0\end{array}}$$

Les solucions generals d'aquestes equacions són:

$${\begin{array}{ll}u=A\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\alpha -k)x}+B\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (\alpha +k)x}&{\text{per a }}0<x<a\\u=C\,\mathrm {e} ^{(\beta -\mathrm {i} k)x}+D\,\mathrm {e} ^{-(\beta +\mathrm {i} k)x}&{\text{per a }}-b<x<0\end{array}}$$

on $A$, $B$, $C$ i $D$ són constants arbitràries.

Com que la funció d'ona i la seva derivada han de ser contínues en tot $x\in \mathbb {R}$, aleshores $u$ i $u'$ també han de ser contínues en tot $x\in \mathbb {R}$. Per tant, tenint en compte la periodicitat de $u$, les condicions de contorn han de ser les següents:

$${\begin{array}{cc}\lim \limits _{x\to 0^{+}}u(x)=\lim \limits _{x\to 0^{-}}u(x)&\lim \limits _{x\to 0^{+}}u'(x)=\lim \limits _{x\to 0^{-}}u'(x)\\\lim \limits _{x\to a^{-}}u(x)=\lim \limits _{x\to {-b}^{+}}u(x)&\lim \limits _{x\to a^{-}}u'(x)=\lim \limits _{x\to {-b}^{+}}u'(x)\end{array}}$$

és a dir:

$${\begin{array}{c}A+B=C+D\\\mathrm {i} (\alpha -k)\,A-\mathrm {i} (\alpha +k)\,B=(\beta -\mathrm {i} k)\,C-(\beta +\mathrm {i} k)\,D\\A\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\alpha -k)a}+B\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (\alpha +k)a}=C\,\mathrm {e} ^{-(\beta -\mathrm {i} k)b}+D\,\mathrm {e} ^{(\beta +\mathrm {i} k)b}\\\mathrm {i} (\alpha -k)\,A\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\alpha -k)a}-\mathrm {i} (\alpha +k)\,B\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (\alpha +k)a}=(\beta -\mathrm {i} k)\,C\,\mathrm {e} ^{-(\beta -\mathrm {i} k)b}-(\beta +\mathrm {i} k)\,D\,\mathrm {e} ^{(\beta +\mathrm {i} k)b}\end{array}}$$

Aquest sistema d'equacions té, com a mínim, una solució determinada si:

$${\begin{vmatrix}1&1&-1&-1\\\mathrm {i} (\alpha -k)&-\mathrm {i} (\alpha +k)&-(\beta -\mathrm {i} k)&(\beta +\mathrm {i} k)\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\alpha -k)a}&\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (\alpha +k)a}&-\mathrm {e} ^{-(\beta -\mathrm {i} k)b}&-\mathrm {e} ^{(\beta +\mathrm {i} k)b}\\\mathrm {i} (\alpha -k)\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\alpha -k)a}&-\mathrm {i} (\alpha +k)\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (\alpha +k)a}&-(\beta -\mathrm {i} k)\,\mathrm {e} ^{-(\beta -\mathrm {i} k)b}&(\beta +\mathrm {i} k)\,\mathrm {e} ^{(\beta +\mathrm {i} k)b}\end{vmatrix}}\,=0$$

Desenvolupant aquest determinant, s'obté, després d'un càlcul llarg i laboriós:

$${\frac {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}{2\alpha \beta }}\,\sinh \beta b\,\sin \alpha a+\cosh \beta b\,\cos \alpha a=\cos k(a+b)$$

A partir d'aquí, Kronig i Penney consideren el cas en què les barreres de potencial s'aproximen a funcions delta, és a dir, $b\to 0$ i $V_{0}\to \infty$. En aquest cas, si es defineix

$$P=\lim _{\begin{array}{c}b\to 0\\[-5pt]V_{0}\to \infty \end{array}}{\frac {mV_{0}ab}{\hbar ^{2}}}$$

aleshores l'equació anterior s'escriu com:

$${\frac {P}{\alpha a}}\,\sin \alpha a+\cos \alpha a=\cos ka$$

Com que $k$ és real, el membre de la dreta només pren valors entre $-1$ i $1$. Per tant, per tal que l'equació es satisfaci, el membre de l'esquerra només pot prendre valors entre $-1$ i $1$.

Bibliografia

• A. J. Dekker. Solid state physics. Reimpr. 1a ed. Londres: MacMillan, 1990.
• J. P. McKelvey. Solid state and semiconductor physics. Reimpr. 1a ed. Florida: Krieger, 1984.
• F. Seitz. The modern theory of solids. 1a ed. Nova York: McGraw-Hill, 1940.