Nombre de Betti

En topologia, els nombres de Betti són uns objectes topològics que Henri Poincaré va demostrar que eren invariants i que va utilitzar per estendre la fórmula polièdrica a espais de dimensions més grans que tres. Per a cada dimensió d'un espai topològic en el que existeixen símplex, el nombre de Betti expressa el nombre de cicles independents en aquesta dimensió.

Definició

Un tor té un component connectat, dos forats circulars (un al centre i l'altre a l'interior del tub) i un buit tridimensional: Els seus nombres de Betti són 1,2,1.

Intuïtivament, el nombre de Betti a cada dimensió, és el nombre de talls que es poden fer en una superfície n-dimensional sense dividir-la totalment. Així, per exemple, la seqüència de nombres de Betti d'un espai tridimensional seria: $(a,b,c,0,0,0,\dots )$, on $a,b,c$ representen els nombres de talls que es poden fer en les dimensions 1, 2 i 3 i els zeros següents representen les demés dimensions inexistents.

Formalment, el n-éssim nombre de Betti és el rang del n-éssim grup homològic d'un espai topològic.

Bibliografia

• Gayet, Damien; Welschinger, Jean-Yves «What is the total Betti number of a random real hypersurface?» (en (anglès)). Journal für die reine und angewandte Mathematik, Num. 689, 2014, pàg. 137-168. DOI: 10.1515/crelle-2012-0062. ISSN: 0075-4102.
• Henle, Michael. A Combinatorial Introduction to Topology (en (anglès)). Dover Publications, 1979. ISBN 0-486-67966-7. 
• Kline, Morris. Mathematical Thought From Ancient to Modern Times: Volume 3 (en (anglès)). Oxford University Press, 1990. ISBN 0-19-506137-3. 

Enllaços externs

• Barile, Margherita; Weisstein, Eric W. «Betti number». MathWorld--A Wolfram Web Resource. [Consulta: 24 febrer 2017].