Relació Faber-Jackson

Velocitat de dispersió traçada respecte una magnitud absoluta en una mostra de galàxies el·líptiques, amb la "relació de Faber-Jackson" dibuixada en blau.

La Relació Faber-Jackson és la relació entre la lluminositat d'una galàxia el·líptica i la seva dispersió de velocitats per al càlcul de la seva distància.

Ve donada per

$L=C\times \sigma ^{4}$

Demostració

El potencial d'un gas de Ràdio R i massa M amb densitat constant ve donada per
$U=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}}$
L'energia cinètica es pot representar com
$K={\frac {1}{2}}M\sigma ^{2}$
Pel Teorema de virial $2K+U=0$ tenim
$\sigma ^{2}={\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}$
per a una massa M virialitzada.

Si suposem que la relació massa-lluminositat és constant
${\frac {M}{L}}=C$
llavors

$M\propto L$

Aïllant M i igualant
$L\propto {\frac {\sigma ^{2}R}{G}}$
llavors
$R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}$

Suposant la mateixa brillantor superficial
$B={\frac {L}{4\pi R^{2}}}$
llavors
$L=4\pi R^{2}B$
substituint
$L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)^{2}B$
desenvolupant
$L\propto {\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}}$
és a dir
$L\propto \sigma ^{4}$
o
$L=C\times \sigma ^{4}$

Vegeu també

• Relació Tully-Fisher