Super àlgebra de Lie

En matemàtica, una super àlgebra de Lie és la generalització de l'àlgebra de Lie. Les super àlgebres de Lie són importants en física teòrica on s'utilitzen per a descriure la matemàtica de la supersimetria. En aquestes teories, els elements parells de la super àlgebra corresponen als bosons i els elements senars als fermions. Una super àlgebra de Lie és un àlgebra sobre un cos de característica 0 Z ₂ - graduada el producte de la qual [·, ·], anomenat super claudàtor de Lie o super commutador , satisfà

• $[x,y]=-(-1)^{|x| |y|}[y,x]$
• $(-1)^{|z| |x|}[x,[y,z]]+(-1)^{|x| |y|}[y,[z,x]]+(-1)^{|y| |z|}[z,[x,y]]=0$

on x , y , i z són purs en la Z ₂ -graduació. Aquí|x|denota el grau de x (0 o 1).

Les super àlgebres de Lie són una generalització natural de les àlgebres de Lie normals per incloure una Z ₂ -graduació. De fet, les condicions esmentades al super claudàtor són exactament les mateixes que en el claudàtor normal de Lie amb les modificacions fetes per la graduació. L'última condició de vegades s'anomena super identitat de Jacobi .

El subalgebra parell d'una super àlgebra de Lie forma un àlgebra de Lie (normal) ja que tots els signes desapareixen, i el super claudàtor es redueix a un claudàtor normal de Lie.

Vegeu també

• Supergrup,
• Superespai,
• Grup quàntic,
• Àlgebra de Grassmann,
• Àlgebra de Lie d'anions

Referències

• Kac, V. G. Lie superalgebras. Advances in Math. 26 (1977), no. 1, 8 - 96.