Tall de Dedekind

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Un tall de Dedekind separa el conjunt dels nombres racionals en dos subconjunts: aquells que el seu quadrat és més petit que 2 i aquells que el seu quadrat és més gran que 2. Aquest tall es pot identificar amb el nombre irracional \sqrt 2 . El conjunt dels talls de Dedekint es pot fer servir per construir el conjunt dels nombres reals a partir dels nombres racionals.

En matemàtiques, un tall de Dedekind d'un conjunt totalment ordenat E és una parella (A,B) de subconjunts de E, que formen una partició de E, i on tot element de A és més petit que tot element de B.

De certa manera, aquest tall conceptualitza alguna cosa que es trobaria «entre» A i B, però que no ha de ser per força un element de E.

Els talls de Dedekind van ser introduïts per Richard Dedekind com a mitjà de construcció del conjunt dels nombres reals (presentant de manera formal el que es troba «entre» els nombres racionals).

Definició[modifica | modifica el codi]

Un tall de Dedekind d'un conjunt totalment ordenat E es defineix per una parella (A,B), on A \subset E i B \subset E, tals que:

  1. A \ne \empty, B \ne \empty
  2. A \cap B = \empty#A \cup B = E
  3. \forall x \in A, \forall y \in B, x<y

Els punts 1, 2 i 3 diuen que A i B constitueixen una partició de E. Per tant, la definició d'un determina completament l'altre.

El punt 4 formula la partició dels elements de E en aquestes dues parts. Es pot demostrar que aquest punt equival a:

  • \forall x \in E, (a\in A \land x\le a \Rightarrow x\in A) i
  • \forall y \in E, (b\in B \land y\ge b \Rightarrow y\in B).

Exemples[modifica | modifica el codi]

Construcció dels nombres reals[modifica | modifica el codi]

Si E=\mathbb Q, el conjunt dels nombres racionals, es pot considerar el tall següent:

A=\{a\in\mathbb Q | a^2<2\lor a\le 0 \}
B = \{ b\in\mathbb Q | b^2\ge 2\land b>0 \}

Aquest tall permet representar el nombre irracional \sqrt{2} que aquí es defineix alhora pel conjunt nombres racionals que són més petits i pel dels nombres racionals que són més grans.

La presa en consideració de tots els talls de Dedekind sobre \mathbb Q permet una construcció del conjunt dels nombres reals \mathbb R (vegeu l'article Construcció dels nombres reals).

Ordre sobre els talls de Dedekind[modifica | modifica el codi]

Siguin (A,B) i (C,D) dos talls de Dedekind de E. Es defineix un ordre sobre el conjunt dels talls de Dedekind de E posant:

(A,B)<(C,D) \Leftrightarrow A\subset C.

Es pot demostrar que el conjunt dels talls de Dedekind de E proveït d'aquest ordre posseeix la propietat de la fita superior, fins i tot si E no la posseeix. Submergint E en aquest conjunt, se'l perllonga en un conjunt del que tota subclasse afitada posseeix un suprem.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]