Tall de Dedekind

Un tall de Dedekind separa el conjunt dels nombres racionals en dos subconjunts: aquells que el seu quadrat és més petit que 2 i aquells que el seu quadrat és més gran que 2. Aquest tall es pot identificar amb el nombre irracional $\sqrt 2$. El conjunt dels talls de Dedekint es pot fer servir per construir el conjunt dels nombres reals a partir dels nombres racionals.

En matemàtiques, un tall de Dedekind d'un conjunt totalment ordenat $E$ és una parella (A,B) de subconjunts de $E$, que formen una partició de E, i on tot element de $A$ és més petit que tot element de $B$.

De certa manera, aquest tall conceptualitza alguna cosa que es trobaria «entre» $A$ i $B$, però que no ha de ser per força un element de $E$.

Els talls de Dedekind van ser introduïts per Richard Dedekind com a mitjà de construcció del conjunt dels nombres reals (presentant de manera formal el que es troba «entre» els nombres racionals).

Definició

Un tall de Dedekind d'un conjunt totalment ordenat $E$ es defineix per una parella (A,B), on $A \subset E$ i $B \subset E$, tals que:

1. $A \ne \empty, B \ne \empty$
2. $A \cap B = \empty$#$A \cup B = E$
3. $\forall x \in A, \forall y \in B, x<y$

Els punts 1, 2 i 3 diuen que $A$ i $B$ constitueixen una partició de $E$. Per tant, la definició d'un determina completament l'altre.

El punt 4 formula la partició dels elements de $E$ en aquestes dues parts. Es pot demostrar que aquest punt equival a:

• $\forall x \in E, (a\in A \land x\le a \Rightarrow x\in A)$ i
• $\forall y \in E, (b\in B \land y\ge b \Rightarrow y\in B)$.

Exemples

Construcció dels nombres reals

Si $E=\mathbb Q$, el conjunt dels nombres racionals, es pot considerar el tall següent:

$A=\{a\in\mathbb Q | a^2<2\lor a\le 0 \}$

$B = \{ b\in\mathbb Q | b^2\ge 2\land b>0 \}$

Aquest tall permet representar el nombre irracional $\sqrt{2}$ que aquí es defineix alhora pel conjunt nombres racionals que són més petits i pel dels nombres racionals que són més grans.

La presa en consideració de tots els talls de Dedekind sobre $\mathbb Q$ permet una construcció del conjunt dels nombres reals $\mathbb R$ (veure l'article Construcció dels nombres reals).

Ordre sobre els talls de Dedekind

Siguin $(A,B)$ i $(C,D)$ dos talls de Dedekind de $E$. Es defineix un ordre sobre el conjunt dels talls de Dedekind de $E$ posant:

$(A,B)<(C,D) \Leftrightarrow A\subset C$.

Es pot demostrar que el conjunt dels talls de Dedekind de $E$ proveït d'aquest ordre posseeix la propietat de la fita superior, fins i tot si $E$ no la posseeix. Submergint $E$ en aquest conjunt, se'l perllonga en un conjunt del que tota subclasse afitada posseeix un suprem.

Vegeu també

• Nombre real
• Construcció dels nombres reals
• Successió de Cauchy