Test de divergència

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, el test de divergència del terme n-èssim o test del tèrme[1] és un test simple per avaluar la divergència d'una sèrie infinita:

  • Si \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0, llavors \sum_{n=1}^\infty a_n divergeix.

Aquest test en general no té cap nom específic que l'identifiqui.[2]

A diferència dels tests de convergència que són més potents, el test del terme no pot demostrar per si sol que una sèrie convergeix. En particular, la inversa del test no és verdadera; tot el que es pot afirmar és que:

  • Si \lim_{n \to \infty} a_n = 0, llavors \sum_{n=1}^\infty a_n pot ser convergent o no.

La sèrie harmònica és un exemple clàssic d'una sèrie divergent tal que els seus termes tendeixen a cero.[3] La sèrie del tipus p,

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p},

és un exemple dels possibles resultats del test:

  • Si p = 0, llavors el test del terme indica que la sèrie és divergent.
  • Si 0 < p ≤ 1, els resultats del test del terme no són concloents, i, en aquest cas, la sèrie és divergent.
  • Si 1 < p, els resultats del test del terme no són concloents, i, en aquest cas, la sèrie és convergent.

Demostració[modifica | modifica el codi]

El test en general es demostra en la seva forma contrapositiva:

  • Si \sum_{n=1}^\infty a_n convergeix, llavors \lim_{n \to \infty} a_n = 0.

Manipulació del límit[modifica | modifica el codi]

Si s n són les sumes parcials de la sèrie, llavors la suposició que la sèrie convergeix implica que

\lim_{n\to\infty} s_n = s

per a algun nombre s. Llavors[4]

\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}(s_n-s_{n-1}) = s-s = 0.

Criteri de Cauchy[modifica | modifica el codi]

La suposició que la sèrie és convergent vol dir que satisfà el test de convergència de Cauchy: per a cada \varepsilon>0 existeix un nombre N tal que

|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}|<\varepsilon

és vàlid per a tot n > N i p ≥ 1. Fent p =1 s'obté la definició inicial[5]

\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Abast[modifica | modifica el codi]

La versió més simple del test del terme és aplicable a les sèries infinites de nombres reals. Les dues demostracions indicades prèviament, al basar-se en el criteri de Cauchy o a la linealitat del límit, són per tant vàlides també en tot espai vectorial normat.[6]

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. Kaczor p.336
  2. Per exemple, Rudin (p.60) el cita en la seva forma contrapositiva sense donar-li un nom. Brabenec (p.156) el denomina test del terme n-èssim. Stewart (p.709) el denomina Test de la divergencia.
  3. Rudin p.60
  4. Brabenec p.156; Stewart p.709
  5. Rudin (pp.59-60) fa servir aquesta idea de demostració, començant amb una expressió diferent del criteri de Cauchy.
  6. Hansen p.55; uhubi p.375

Referències[modifica | modifica el codi]

  • Brabenec, Robert. Resources for the study of real analysis. MAA, 2005. ISBN 0-88385-737-5. 
  • Hansen, Vagn Lundsgaard. Functional Analysis: Entering Hilbert Space. World Scientific, 2006. ISBN 981-256-563-9. 
  • Kaczor, Wiesława and Maria Nowak. Problems in Mathematical Analysis. American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2050-8. 
  • Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. 3e. McGraw-Hill, 1976. ISBN 0-07-054235-X. 
  • Stewart, James. Calculus: Early transcendentals. 4a. Brooks/Cole, 1999. ISBN 0-534-36298-2. 
  • Șuhubi, Erdoğan S. Functional Analysis. Springer, 2003. ISBN 1-4020-1616-6.