De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Traça d'una matriu de 4×4 En àlgebra lineal , la traça d'una matriu quadrada A d'n xn es defineix com la suma dels elements de la diagonal principal d'A , és a dir
tr
(
A
)
=
a
11
+
a
22
+
⋯
+
a
n
n
{\displaystyle \operatorname {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}}
on a ij representa l'element que és a la fila i -èsima i a la columna j -èsima d'A .
tr
(
A
+
B
)
=
tr
(
A
)
+
tr
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {tr} \left(A+B\right)=\operatorname {tr} \left(A\right)+\operatorname {tr} \left(B\right)}
tr
(
r
A
)
=
r
(
tr
(
A
)
)
{\displaystyle \operatorname {tr} \left(rA\right)=r\left(\operatorname {tr} \left(A\right)\right)}
sent
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
r
{\displaystyle r\,}
escalar . Com la diagonal principal no es troba afectada en transposar la matriu:
tr
(
A
T
)
=
tr
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {tr} \left(A^{T}\right)=\operatorname {tr} \left(A\right)}
Si
A
{\displaystyle A\,}
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
B
{\displaystyle B\,}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
tr
(
A
B
)
=
tr
(
B
A
)
{\displaystyle \operatorname {tr} \left(AB\right)=\operatorname {tr} \left(BA\right)}
Per demostrar-ho tenim en compte que el producte de les matrius
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
[
A
B
]
i
j
=
∑
k
=
1
m
[
A
]
i
k
[
B
]
k
j
{\displaystyle [AB]_{ij}=\sum _{k=1}^{m}[A]_{ik}[B]_{kj}}
amb la qual cosa podem expressar la traça de
A
B
{\displaystyle AB}
tr
(
A
B
)
=
∑
i
=
1
n
[
A
B
]
i
i
=
∑
i
=
1
n
∑
k
=
1
m
[
A
]
i
k
[
B
]
k
i
{\displaystyle \operatorname {tr} \left(AB\right)=\sum _{i=1}^{n}[AB]_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{m}[A]_{ik}[B]_{ki}}
i tenint en compte la propietat associativa del sumatori
tr
(
A
B
)
=
∑
k
=
1
m
∑
i
=
1
n
[
A
]
i
k
[
B
]
k
i
=
∑
k
=
1
m
∑
i
=
1
n
[
B
]
k
i
[
A
]
i
k
=
∑
k
=
1
m
[
A
B
]
k
k
=
tr
(
B
A
)
{\displaystyle \operatorname {tr} \left(AB\right)=\sum _{k=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}[A]_{ik}[B]_{ki}=\sum _{k=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}[B]_{ki}[A]_{ik}=\sum _{k=1}^{m}[AB]_{kk}=\operatorname {tr} \left(BA\right)}
Cal notar que
A
B
{\displaystyle AB\,}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
B
A
{\displaystyle BA\,}
m
×
m
{\displaystyle m\times m}
Si
A
{\displaystyle A\,}
n
{\displaystyle n\,}
n
{\displaystyle n\,}
valors propis reals o complexos (incloent multiplicitat):
λ
1
.
.
.
,
λ
n
{\displaystyle \lambda _{1}...,\lambda _{n}\,}
tr
(
A
)
=
∑
i
=
1
n
λ
i
{\displaystyle \operatorname {tr} \left(A\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}{\lambda _{i}}}
Això pot veure's fàcilment tenint en compte la corresponent forma canònica de Jordan de l'aplicació lineal associada a la matriu. Com que la traça d'una matriu i de la forma de Jordan associada són iguals en ser la traça un invariant algebraic, la traça de la matriu és la suma dels elements de la diagonal de la forma de Jordan, és a dir, la suma d'autovalors. 
![{\displaystyle [AB]_{ij}=\sum _{k=1}^{m}[A]_{ik}[B]_{kj}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786fb5609562fee995fcc37c8f16e5034c6658cc)
![{\displaystyle \operatorname {tr} \left(AB\right)=\sum _{i=1}^{n}[AB]_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{m}[A]_{ik}[B]_{ki}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ed25dfd68c552d1fb90d199d067db80b6b4283)
![{\displaystyle \operatorname {tr} \left(AB\right)=\sum _{k=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}[A]_{ik}[B]_{ki}=\sum _{k=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}[B]_{ki}[A]_{ik}=\sum _{k=1}^{m}[AB]_{kk}=\operatorname {tr} \left(BA\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab0f234020d2888703d23c253d7f22e0065a3fa2)
