Usuari:Mcapdevila/Llei quadràtic-cúbica

La llei quadràtic-cúbica va ser esmentada per primera vegada en Due Nuove Scienze (1638).

Descripció

La llei del quadrat-club :

Quan un objecte es sotmet a un augment proporcional en grandària, el seu nou volum és proporcional al cub del multiplicador i la seva nova superfície és proporcional al quadrat del multiplicador.

Representa matemàtica:

$V_{2}=v_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{3}$

on $v_{1}$ és el volum original, $v_{2}$ és el nou volum, $\ell _{1}$ original i $\ell _{2}$ .

$A_{2}=A_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{2}$

on $A_{1}$ és l'àrea original i $A_{2}$ és original àrea.

Enginyeria

Quan a un objecte físic, mantenint la mateixa densitat, se li s'engrandeix, la seva massa s'incrementa pel cub del multiplicador, mentre que la seva superfície només augmenta pel quadrat d'aquest multiplicador. Així doncs, quan l'objecte final s'accelera al mateix ritme que l'original, més pressió s'exerceix sobre la superfície d'aquest.

Vegem un exemple simple d'un cos de massa M , amb una acceleració a , i una superfície A , sobre la qual actua la força d'acceleració. La força deguda a l'acceleració, $F=Ma$, i la pressió d'empenta, $T={\frac {F}{A}}=M{\frac {a}{A}}$.

Ara, considerem l'objecte augmentat per un factor multiplicador = x per tant la nova massa seria, $M'=x^{3}M$, i la nova superfície sobre la qual la força està actuant, $A'=x^{2}A$.

La nova força deguda a l'acceleració $F'=x^{3}Ma$ i la pressió d'empenta resultant,

${\begin{aligned}T'&={\frac {F'}{A'}}\\&={\frac {x^{3}}{x^{2}}}\times M{\frac {a}{A}}\\&=x\times M{\frac {a}{A}}\\&=x\times T\\\end{aligned}}$

Per tant, l'augment de la mida d'un objecte, mantenint el mateix material de construcció (densitat), i la mateixa acceleració, podria augmentar l'empenta pel mateix factor d'escala. Això indicaria per què l'objecte tindria menys capacitat per resistir l'estrès i seria més propens al col·lapse mentre s'accelera.

Per això vehicles de grans dimensions donen baix rendiment en les proves de xoc i per què hi ha límits pel que fa a l'alçada dels edificis. De la mateixa manera, com més gran és un objecte, altres objectes petits resisteixen menys el seu moviment, evitant que desacceleri.

Exemples en enginyeria

Al Airbus A380 les ales i superfícies de control (timons i elevadors) són relativament grans en comparació amb el fuselatge de l'avió. En un Boeing 737 aquestes relacions semblen ser molt més "proporcionades", però si el disseny del 380 estat un simple augment de les dimensions del del 737, resultarie de l'arona

Biomecànica

Si un animal s'ampliés en una quantitat considerable, la seva força muscular relativa seria molt reduïda, ja que la secció transversal dels seus músculs s'incrementaria només pel quadrat del factor d'escala, mentre que club del factor . Com a resultat, les funcions cardiovasculars i respiratòries, es veurien greument compromeses.

Els animals gegants que es veu en les pel·lícules de terror (per exemple, Godzilla o King Kong) també són poc realistes, ja que la seva mida els obligaria a col·lapsar. No obstant això, no és cap coincidència que els animals més grans que existeixen avui en dia siguin gegants animals aquàtics, ja que la flotabilitat de l'aigua contraresta, en certa mesura els efectes de la gravetat. Per tant, les criatures del mar poden créixer a mides molt grans sense les mateixes estructures musculoesquelètiques que es requeriria en les criatures terrestres de mida similar.

Temes relacionats

• Biomecànica
• Al·lometria

Bibliografia complementària

• Wayne Throop. Sauropods, Elephants, Weightlifters: Miscellaneous Issues. 
• World Builders: The Limits to Animal Size - Size to Volume Ràtio. 
• Michael C.Labarbira. The Biology of B-Movie Monsters.