Usuari:Sebas081001/Mètode de Laguerre

En anàlisi numèrica, Laguerre el mètode és un algoritme que troba l'arrel tailored a polinomis. En altres paraules, Laguerre el mètode pot soler numèricament solucionar l'equació p(x) = 0 per un donat polinòmic p(x). Una de les propietats més útils d'aquest mètode és que és, l'estudi empíric extens, molt proper a ser un "mètode de foc" segur, significant que és gairebé garantida a sempre convergir a alguna arrel del polinomi, cap assumpte el que la suposició inicial és escollida. Aquest mètode és anomenat dins honor d'Edmond Laguerre, un matemàtic francès.

Definició

L'algoritme del Laguerre mètode per trobar un arrela d'un polinòmic p(x) de grau n és:

• Escollir una suposició inicial x0
• Per k = 0, 1, 2, … = 0, 1, 2,
  • Si

       ${\displaystyle }$ (
       
         ${\displaystyle }$                                
       
       ${\displaystyle }$ )     {\displaystyle p(x_{k})}  és molt petit, sortida el bucle${\displaystyle }$

• • Calcula

       ${\displaystyle }$         =                 p
               ${\displaystyle }$                              (                 x               k )            
           
             ${\displaystyle }$               (
             
               ${\displaystyle }$                                                  
             
             ${\displaystyle }$ )     {\displaystyle G={\frac {p'(x_{k})}{p(x_{k})}}}${\displaystyle }$  

• • Calcula

       ${\displaystyle }$         =
       
         ${\displaystyle }$
         
           ${\displaystyle }$          
       
       ${\displaystyle }$                                                              p
               ${\displaystyle }$                              (                 x               k )            
           
             ${\displaystyle }$               (
             
               ${\displaystyle }$                                                  
             
             ${\displaystyle }$ )     {\displaystyle H=G^{2}-{\frac {p''(x_{k})}{p(x_{k})}}}${\displaystyle }$  

• • Calcular

       ${\displaystyle }$         =        
         
           ${\displaystyle }$                            G
             ${\displaystyle }$                                                  (
                 ${\displaystyle }$                   −
                 ${\displaystyle }$                   )                   (                   n
                 ${\displaystyle }$
                 ${\displaystyle }$
                 
                   ${\displaystyle }$
                   
                     ${\displaystyle }$                                                          )     {\displaystyle un={\frac {n}{G\pm {\sqrt {(n-1)(nH-G^{2})}}}}} , on el signe és escollit per donar el denominador amb el valor absolut més gran, per evitar pèrdua d'importància com iteration procedeix.${\displaystyle }$

• • Conj${\displaystyle }$t x k ${\displaystyle }$

           ${\displaystyle }$                            =
       
         ${\displaystyle }$                                
       
       ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$         un     {\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-un}${\displaystyle }$  

• Repetir fins a un és petit prou o si el número màxim de iterations ha estat assolit.

Si una arrel ha estat trobada, el factor lineal corresponent pot ser tret de p. Aquest pas de deflació redueix el grau del polinomi per un, de manera que finalment, aproximacions per totes les arrels de p pot ser trobat. Nota tanmateix que la deflació pot dirigir per aproximar factors que difereixen significativament dels factors exactes corresponents. Aquest error és menys si les arrels són trobades en l'ordre de magnitud creixent.

Derivation

El teorema fonamental d'àlgebra declara que cada nth polinomi de grau

${\displaystyle }$

{${\displaystyle }$} pot ser escrit en la forma${\displaystyle }$

Tal que

${\displaystyle }$

k {${\displaystyle }$ x_{${\displaystyle }$}} o${\displaystyle }$

( k = ${\displaystyle }$ , ${\displaystyle }$ , . . . , n ) {\displaystyle (k=1,2,...,n)} és les arrels del polinomi.${\displaystyle }$${\displaystyle }$ Si agafem el natural logarithm d'ambdós costats, trobem allò

Denotar el derivat per

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

Llavors fem el que Acton crida un 'conjunt dràstic de suposicions', que l'arrel estem buscant, diu, x

${\displaystyle }$

{\displaystyle ${\displaystyle }$_{1}} és una distància segura lluny de la nostra suposició

${\displaystyle }$

{${\displaystyle }$} , i totes les altres arrels són clustered junt alguna distància fora.${\displaystyle }$${\displaystyle }$ Si denotem aquestes distàncies per

${\displaystyle }$

I

${\displaystyle }$

Llavors la nostra equació per G {\displaystyle ${\displaystyle }$} pot ser escrit mentre${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

I l'expressió per H {\displaystyle ${\displaystyle }$} esdevé${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$ =

           ${\displaystyle }$                            G
             ${\displaystyle }$                                                  (
                 ${\displaystyle }$                   −
                 ${\displaystyle }$                   )                   (                   n
                 ${\displaystyle }$
                 ${\displaystyle }$
                 
                   ${\displaystyle }$
                   
                     ${\displaystyle }$                                                          )     {\displaystyle un={\frac {n}{G\pm {\sqrt {(n-1)(nH-G^{2})}}}}} ,${\displaystyle }$

On l'arrel quadrada d'un número complex és escollida per produir valor absolut més gran del denominador, o equivalently, per satisfer:

Re ( G

           ${\displaystyle }$                                                  (             n             −
           ${\displaystyle }$             )             (
           ${\displaystyle }$
           ${\displaystyle }$
           ${\displaystyle }$
           
             ${\displaystyle }$
             
               ${\displaystyle }$                                        )         )
       ${\displaystyle }$
       ${\displaystyle }$                {\displaystyle \operatorname {${\displaystyle }$} \,({\overline {G}}{\sqrt {(n-1)(nH-G^{2})}}\,)>0} ,${\displaystyle }$

On Re denota part real d'un número complex, i G és el complex conjuGate de G; o

${\displaystyle }$ = p ( x )

               ${\displaystyle }$                 ′               (
             ${\displaystyle }$               )                      
       
       ${\displaystyle }$                                (                 1
               ${\displaystyle }$              
           
           ${\displaystyle }$                          
               
                 ${\displaystyle }$                   −
                 ${\displaystyle }$
               
               ${\displaystyle }$                                                  
             
               ${\displaystyle }$
               ${\displaystyle }$                
                 
                   ${\displaystyle }$                                            n
                     ${\displaystyle }$
                     ${\displaystyle }$                                                                                                        
                   
                     ${\displaystyle }$                       (
                     ${\displaystyle }$                       )
                     
                       ${\displaystyle }$
                       ${\displaystyle }$                                              (
                     ${\displaystyle }$                       )                                        
                     
                       ${\displaystyle }$
                       ${\displaystyle }$                                              (
                     ${\displaystyle }$                                                )
                       
                         ${\displaystyle }$                                                                                                                                            )          
         
           ${\displaystyle }$
           ${\displaystyle }$                                  {\displaystyle un={\frac {p(x)}{p'(x)}}\cdot \deixat({\frac {1}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\,{\sqrt {1-{\frac {n}{n-1}}\,{\frac {p(x)p''(x)}{p'(x)^{2}}}}}\correcte)^{-1}} ,${\displaystyle }$

On l'arrel quadrada d'un número complex és escollida per tenir un no-part real negativa.

Per valors petits de p(x) aquesta fórmula difereix de l'offset del tercer ordre Halley mètode per un error de O(p(x)3), així que la convergència tanca a una arrel serà cúbica també.

Nota que, fins i tot si el 'conjunt dràstic de suposicions' no treballa per algun polinomi particular p(x), p(x) pot ser transformat a un relacionat polinòmic r per quines les suposicions són correctes, p. ex. per canviar l'origen cap a un número complex adequat w, donant q(x) = p(x q(x) = p(x − w) w), per donar arrels distintes magnituds distintes si és necessari (quin sigui si algunes arrels són complexes conjugates), i llavors aconseguint r de q(x) per repetidament aplicant l'arrel que quadra la transformació utilitzada en Graeffe mètode prou temps per fer les arrels més petites significativament més petites que l'arrel més gran (i tan, clustered en comparació); l'arrel aproximada de Graeffe el mètode llavors pot soler començar el nou iteration per Laguerre mètode en r. Una arrel aproximada per p(x) llavors pot ser obtingut straightforwardly d'aquell per r.

Sx_i, i = 2, 3, …, n fem la suposició més forta que els termes e G corresponent a les arrels xi, i = 2, 3, , n és negligibly petit en comparació al terme que correspon a l'arrel x1, aquests avantatges al mètode del newton .

Propietats

Zones d'atracció de Laguerre mètode per polinòmic x^4 + 2*x^3 + 3*x^2 + 4*x + 1

Si x és una arrel senzilla del polinòmic p(x), llavors Laguerre el mètode convergeix cubically quan sigui que la suposició inicial x0 és proper prou a l'arrel x. D'altra banda, si x és una arrel múltiple llavors la convergència és única lineal. Això és obtingut amb la pena de calcular valors pel polinòmic i el seu primer i segons derivats a cada etapa del iteration.

Un avantatge important de Laguerre el mètode és que és gairebé guaranteed per convergir a alguna arrel del polinomi cap assumpte on l'aproximació inicial és escollida. Això és per contrast a altres mètodes com el Newton–Raphson mètode que pot fallar per convergir per mal suposicions inicials escollides. Fins i tot pugui convergir a una arrel complexa del polinomi, a causa del ser d'arrel quadrat agafat en el càlcul d'un damunt pot ser d'un número negatiu. Això pot ser considerat un avantatge o una responsabilitat que depén en l'aplicació al qual el mètode està sent va utilitzar. L'evidència empírica ha mostrat que fracàs de convergència és extremadament rar, fent aquest un candidat bo per un propòsit general algoritme de descobriment d'arrel polinòmic. Tanmateix, donat la comprensió teòrica força limitada de l'algoritme, molts els analistes numèrics són indecisos d'utilitzar-lo com a tal, i preferir més ben va entendre mètodes com el Jenkins–Traub algoritme, per quina teoria més sòlida ha estat desenvolupada. No obstant això, l'algoritme és força senzill d'utilitzar comparat a aquests altres "mètodes de foc" segur, fàcil prou per ser utilitzat a mà o amb l'ajut d'una calculadora de butxaca quan un ordinador automàtic és inutilitzable. La velocitat a quin el mètode convergeix significa que un és només molt rarament requerit per computar més d'uns quants iterations per aconseguir precisió alta.

Referències

• {{{títol}}}. ISBN 0-88385-450-3.   
• Falta indicar la publicació . DOI: 10.1137/0915064. (5): 1059–1063. doi:10.1137/0915064. 
• Falta indicar la publicació .Mestre tesi, Universitat d'Oxford. 
• Falta indicar la publicació

. DOI: 10.1137/S0036144595288554. Rev. (2): 187–220. doi:10.1137/S0036144595288554. 

• {{{títol}}}. ISBN 978-0-521-88068-8.   
• {{{títol}}}. ISBN 0-07-051158-6.