Àlgebra de Borel

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

L'àlgebra de Borel (o, per ser més precisos, la σ-àlgebra de Borel) associada a un espai topològic T és la més petita de les σ-àlgebres a T que contenen tots els oberts de T.[1] Els elements de la σ-àlgebra de Borel s'anomenen conjunts borelians o simplement borelians. L'existència i unicitat de la σ-àlgebra mínima es demostra amb la intersecció de totes les σ-àlgebres que contenen T, ja que que el resultat d'una intersecció d'un nombre arbitrari de σ-àlgebres és també una σ-àlgebra.[2]

De manera equivalent, es pot definir la σ-àlgebra de Borel com la menor de les σ-àlgebres que contenen tots els subconjunts tancats de T.

Un exemple particularment important és la σ-àlgebra de Borel al conjunt dels nombres reals definida com la més petita de les σ-àlgebres a que conté tots els intervals.,[3]

i que es desina per . Altres caracteritzacions alternatives d'aquesta σ-àlgebra són (entre altres) les següents:[2] És la mínima σ-àlgebra a que conté:

  • Tots els intervals oberts.
  • Tots els intervals tancats.
  • Tots els intervals de la forma
  • totes les semirectes de la forma .
  • totes les semirectes de la forma


Aquesta σ-àlgebra serveix per definir la mesura de Borel sobre . Donada una variable real aleatòria X definida en un espai de probabilitat , es defineix la seva distribució com la probabilitat a donada per

Vegeu també[modifica]

Referències[modifica]

  1. Dellacherie, Claude.. Probabilités et potentiel. Ed. entièrement refondue. París: Hermann, ©1975-<c1992>. ISBN 2705613722. 
  2. 2,0 2,1 Schilling, René L.. Measures, integrals and martingales. Cambridge: Cambridge University Press, 2005, p. 19. ISBN 9780511647987. 
  3. Bonet, Eduard. Espais de probabilitat finits (en català). Barcelona: Editorial lavínia, S. A., 1969, p. 132.